Tübitak Lise 1. Aşama 2010 Soru 11

[ERhan ERdoğan]

$xy$-düzleminde $\left(\sqrt{20},\sqrt{10}\right)$ merkezli bir çemberin üstünde koordinatları tam sayı olan en çok kaç tane nokta bulunabilir?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Yanıt: $\boxed D$

En fazla bir noktanın şartı sağlayabileceğini gösterelim,
Sadece bir noktanın bulunabileceği barizdir. Farz edelim ki $(x,y)$ ve $(a,b)$ bu şartı sağlayan farklı noktalar olsun. Bu noktaların merkeze olan uzaklıkları eşit olacağından,

$$(x-\sqrt{20})^2+(y-\sqrt{10})^2=(a-\sqrt{20})^2+(b-\sqrt{10})^2$$ olmalı. İfadeyi açarsak,
$$x^2+20-4x\sqrt{5}+y^2+10-2y\sqrt{10}=a^2+20-4a\sqrt{5}+b^2+10-2b\sqrt{10}$$ olacaktır. $x,y,a,b \in \mathbb{Z}$ olduğundan,
$4x\sqrt{5}=4a\sqrt{5}$ ve $2y\sqrt{10}=2b\sqrt{10}$ olmalı fakat $(x,y)$ ve $(a,b)$ farklı iki nokta olduğundan bu imkansızdır.Dolayısıyla en fazla bir nokta bulunabilir.