Denklem

[tetrahedral]

(x-1).(x-2).(x-4).(x-5)=4

denklemini sağlayan farklı x değerlerinin toplamı nedir?

A)9 B)10 C)12 D)14 E)16

[Lokman Gökçe]

(x-1)(x-5) = a olsun. Parantezler açılırsa x² - 6x + 5 = a yazılır.

Ayrıca (x-2)(x-4) = x² - 6x + 8 olduğundan (x-2)(x-4) = a + 3 olur.
Buna göre verilen denklem a(a+3) = 5 biçiminde yazılabilir. a² + 3a - 5 = 0 denkleminin kökleri

a₁ = (-3 + kök(29))/2 ve a₂ = (-3 - kök(29))/2 dir. Bu a değerlerini x² - 6x + 5 = a denkleminde yazmalıyız. Bu denklemin diskriminanatı incelenire a< 4 için reel çözümü olduğu görülür. a₁, a₂ değerlerinin her ikisi de 4 ten küçük olduğundan x² - 6x + 5 = a_1,2 denklemlerinin tüm kökleri reeldir.

Vieta teoremine göre x₁ + x₂ = 6 ve x₃ + x₄ = 6 olur. Kökler toplamı 12 dir. Cevap C.