f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+y+1) {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem (İlham Aliyev): Her $x,y \in \mathbb R$ için $f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+y+1)$ denklemini ve $f(1)=\dfrac{2}{3}$ koşulunu sağlayan sürekli $f$ fonksiyonu için $f(3)$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 21 \qquad\textbf{b)}\ 24 \qquad\textbf{c)}\ 27 \qquad\textbf{d)}\ 30 \qquad\textbf{e)}\ 36 $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

Verilen $f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+y+1)$ fonksiyonel denklemini sağlayan iki özel çözüm $f$ ve $g$ fonksiyonları olsun.

$$ f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+y+1)$$
$$g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy(x+y+1)$$
olur. Bu denklemleri taraf tarafa çıkarırsak $$(f-g)(x+y)=(f-g)(x)+(f-g)(y) \tag{1}$$ elde edilir. $h(x)=(f-g)(x)=f(x)-g(x)$ tanımlamasını yapalım. $f,g$ fonksiyonları sürekli olduğundan $h$ fonksiyonu da sürekli olur. Ayrıca

$$ h(x+y)=h(x)+h(y) \tag{2}$$
Cauchy fonksiyonel denklemi olup sürekli tüm çözümleri $h(x)=cx$ biçimindedir. $(2)$ den dolayı $f(x)=g(x)+cx$ tir. O halde verilen fonksiyonel denklemin bir $g(x)$ özel çözümünü bulursak bunu $cx$ ile toplayarak $f(x)=g(x)+cx$ genel çözümüne ulaşırız.

Şimdi $g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy(x+y+1)$ bağıntısını sağlayan $g(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ biçiminde bir özel çözüm arayalım.

$$a(x+y)^3+b(x+y)^2+c(x+y)+d=ax^3+bx^2+cx+d+ ay^3+by^2+cy+d+2x^2y+2xy^2+2xy $$

ifadesinde polinom eşitliğinden $a=\dfrac23, b=1,d=0$ bulunur. ($c=c$ olduğundan aslında $c$ yerine her reel sayı gelebilir.) Böylece $g(x)=\dfrac{2}{3}x^3+x^2$ bir özel çözümdür. $f(x)=cx + \dfrac{2}{3}x^3+x^2$ genel çözümü elde edilir. $f(1)=\dfrac23$ koşulundan $c=-1$ elde edilir. O halde $f(3)=-3+\dfrac23\cdot3^3 + 3^2 =24$ tür.