alanlar {çözüldü}

[KereMath]

$ABCD$ kirişler dörtgeninde $ABD$ üçgenindeki yüksekliklerin kesişim noktası ile $A$ yı birleştiren doğru parçasının orta noktası $A^\prime$ olsun. Aynı şekilde $B^\prime , C^\prime $ ve $D^\prime$ noktaları tanımlanıyor.Buna göre $A^\prime B^\prime C ^\prime D^\prime $ ile $ABCD$ nin aynı alana sahip olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

Kirişler dörtgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $[BD]$ ve $[AC]$ köşegenlerinin orta noktası sırasıyla $E, F$ olsun. Euler doğrusunun bir sonucu olarak $|AA^\prime|=|OE|$ ve $|CC^\prime|=|OE|$ olup $|AA^\prime|=|CC^\prime|$ olur. Ayrıca $AA^\prime$ ve $CC^\prime$ doğrularının her ikisi de $BC$ ye dik olduğundan $AA^\prime \parallel CC^\prime$ olur. Benzer biçimde $|BB^\prime| = |CC^\prime|=|OF|$ ve $BB^\prime \parallel DD^\prime$ olur. Buna göre $ABCD$ dörtgeni ile $A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime$ dörtgeninin karşılıklı köşegen uzunlukları $|AC|=|A^\prime C^\prime|, |BD|=|B^\prime D^\prime|$ eşit ve köşegenler arası açılar da paralelliklerden dolayı eşit olup, dörtgenlerin alanları da eşittir.