Kirişler Dörgeninde Diklik Merkezleri {çözüldü}

[Eray]

Bir $ABCD$ kirişler dörtgeninde $\triangle BCD$ nin diklik merkezi $H_a$, $\triangle ACD$ nin diklik merkezi $H_b$, $\triangle ABD$ nin diklik merkezi $H_c$, $\triangle ABC$ nin diklik merkezi $H_d$ olmak üzere $H_a$, $H_b$, $H_c$, $H_d$ noktalarının çembersel olduğunu gösteriniz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Lemma: Bir $ABC$ üçgeninde diklik merkezi $H$, çevrel çember merkezi $O$ ve $O$ dan $BC$ ye inilen dikmenin ayağı $M$ olmak üzere $AH=2OM$ dir. İspatı Euler doğrusuyla kolayca yapılabilir.

İddia:  $ABCD$ ile $H_{a}H_{b}H_{c}H_{d}$ dörtgenleri eştir.

İspat:  $BH_c$ ve $CH_b$,  $AD$ ye diktir. O zaman $BH_{c} \parallel CH_b$  dir. Çevrel çemberin merkezine $O$ diyelim. $O$ dan $AD$ ye inilen dikme ayağı $M$ olsun. $\triangle ACD$ ve $\triangle ABD$  üçgenlerinin $AD$ kenarı aynı olduğu için lemma gereği $CH_b=2OM=BH_c$ olur. O zaman $CH_{b}H_{c}B$ paralelkenardır. Dolayısıyla $H_{b}H_{c}=BC$  olur.
 
Benzer yöntemi uygulamaya devam edersek $H_{b}H_a=AB$ , $H_{a}H_d=AD$ ve $D_{c}D_d=CD$ bulunur. Sonuç olarak $ABCD$ ile $H_{a}H_{b}H_{c}H_{d}$ dörtgenleri eştir.

Bu da $H_{a}H_{b}H_{c}H_{d}$ dörtgeninin de çembersel olduğunu gösterir. İspat biter.

[mehmetutku]

İki dörtgenin aynı kenarları birbirine paralel olduğu için ve kenar uzunlukları eşit olduğu için bu dörtgenler eştir.

[MATSEVER 27]

Evet haklısınız fark edememişim. İlginiz için de nacizane teşekkür ederim.

[mehmetutku]

Ne demek 

[Lokman Gökçe]

Lemma'da geçen diklik merkezleri ile $ABCD$ nin eş olduğunun ispatlanması 1985 Balkan mat Olimpiyatı'nda sorulmuştur. Bu problemin benzer uygulamaları forumda paylaşıldı. Lemma'nın ispatı kayda değerdir.