Dik Üçgende İç Merkez ve Alan {çözüldü}

[mehmetutku]

Bir $ABC$ üçgeninde $\angle BAC=90^\circ$ dir. İç teğet çemberin merkezi $I$ ve $|AI|=m$ dır. $BI \cap AC=\{K\}$  ve  $CI \cap AB= \{L\}$ olmak üzere $Alan(AKL)$ yi $m$ cinsinden bulunuz.

[Lokman Gökçe]

$m(\widehat{LIK})=m(\widehat{LIK}) = 135^\circ $ olduğunu bulmak kolaydır. Ayrıca $m(\widehat{KAI})=m(\widehat{LAI}) = 45^\circ $ dir. $m(\widehat{AIK})=a$ ve $ m(\widehat{AIL}) = b$ dersek $a+b=135^\circ$ dir. Dolayısıyla $m(\widehat{AKI})=b$, $m(\widehat{BLI})=a$ dır. Böylelikle $AIK \sim ALI $ (açı-açı-açı) benzerliği olup $\dfrac{|AK|}{m} = \dfrac{m}{|AL|}$ dir.

$$ |AK|\cdot |AL| = m^2 $$
olup $Alan(AKL)=\dfrac{|AK|\cdot |AL|}{2}=\dfrac{m^2}2 $ elde edilir.