$|\cos A \cdot \cos B|+|\cos B \cdot \cos C|+|\cos A \cdot \cos C|=S$ diyelim.
$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ iken $S\geq\dfrac{3}{4}$ eşitsizliği yanlıştır. Çünkü $\widehat{A}=90^{\circ}$, $\widehat{B}=45^{\circ}$, $\widehat{C}=45^{\circ}$ alınırsa, $S=\left|0 \cdot \dfrac{1}{\sqrt2}\right|+\left|\dfrac{1}{\sqrt2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt2}\right|+\left|0 \cdot \dfrac{1}{\sqrt2}\right|=\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{4}$'tür.
$S<3$ olduğunu gösterelim.
$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$ eşitsizliğini kullanacağız. İspat için eşitsizlik $2$ ile çarpılırsa $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq0$ haline geldiği görülür.
$|a|^2=a^2$ olduğundan, $\cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C\geq S$'dir.
$\sin^2x+\cos^2x=1$ özdeşliği kullanılırsa, $1-\sin^2A+1-\sin^2B+1-\sin^2C\geq S$
$\Longrightarrow 3 - (\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C)\geq S$
$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\geq0$ olduğu açıktır. $0$'a eşit olması için ise $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$'den her biri $0^{\circ}$ veya $180^{\circ}$'ye eşit olmalıdır. Bu durumda ise $ABC$ bir üçgen olamaz.
Dolayısıyla $\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C>0 \Longrightarrow 3>3 - (\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C)=\cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C>S$ olduğundan $3>S$'dir.