Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 27

[AtakanCİCEK]

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, $P(x)=x^4+(a+b)x^3+(a+b+ab)x^2+(a^2+b^2)x+ab$ polinomunun gerçel kökü yoksa, $(a-2)^2+(b-2)^2$ ifadesinin alabileceği en büyük tamsayı değeri nedir?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 1$

[AtakanCİCEK]

Yanıt: $\boxed{B}$

Verilen ifadeyi tahmin  ederek çarpanlarına ayıralım.
$(x^2+mx+n).(x^2+kx+l)=x^4+(a+b)x^3+(a+b+ab)x^2+(a^2+b^2)x+ab$ ifadesinde terimlerin katsayılarını eşitlersek
$m+k=a+b$
$mk+n+l=a+b+ab$
$ml+nk=a^2+b^2$
$nl=ab$   elde edilir.  bu denklem sistemini çözersek  $m=b$, $n=a$, $k=a$ ,$l=b$ elde edilir.
$(x^2+bx+a).(x^2+ax+b)=0$ elde edilir.
reel kökü olmaması için  diskriminantı $0$ dan küçük olmalıdır.
$b^2-4a<0$ ve $a^2-4b<0$ elde edilir.
İstenen ifadeyi açarsak $a^2-4a+4+b^2-4b+4$
$(a^2-4b)+(b^2-4a)+8$ olduğundan  $(a-2)^2+(b-2)^2<8$ olmalıdır. Alabileceği en büyük tamsayı değeri $7$ bulunur.