Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 11

[Metin Can Aydemir]

$ABCD$ dışbükey dörtgeninde $ABD$, tepe açısı $m(\widehat{A})=60^\circ+2x$ olan bir ikizkenar üçgendir. $m(\widehat{BAC})=m(\widehat{BCA})=x$ ise $m(\widehat{DCA})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 30^\circ  \qquad\textbf{b)}\ 30^\circ+x  \qquad \textbf{c)}\ 30^\circ-x  \qquad \textbf{d)}\ 30^\circ-2x  \qquad\textbf{e)}\ 25^\circ$

[Dogukan6336]

Cevap : $\boxed A$

Köşegenlerin kesim noktasına $P$ diyelim. $m(\widehat{DPA})=m$ olsun. $\left| AD\right| = \left| BC\right| = a$ , $\left| DP\right| = b$ ve $\left| PC\right| = c$ diyelim.
$b=c$ olduğunu göstereceğiz birazdan. İkizkenarları kullanarak açıları yerleştirirsek $m(\widehat{DAP})= 60^\circ + x$ ve $m(\widehat{CBP})= 120-x$ olacaktır. $DAP$ ve $CBP$ üçgenlerinde sırasıyla sinüs teoremi uygulayalım.

$ \dfrac {b} {\sin(60^\circ+x) } = \dfrac {a} {\sin(m) }$

$ \dfrac {c} {\sin(120^\circ-x) } = \dfrac {a} {\sin(m) }$

$\sin(60^\circ+x)=\sin(120^\circ-x)$

$b=c$

Olacaktır. $m(\widehat{DPC})=120^\circ$ olduğundan, $DPC$ üçgeni $120^\circ-30^\circ-30^\circ$ üçgenidir. $m(\widehat{DCA})=30^\circ$ olur.

[Deniz Tuna Yalçın]

Sentetik çözüm olarak: $ADC$ üçgeninde $60^\circ+x$ açısının $BDC$ üçgenindeki $120^\circ-x$ açısına bütünler olduğunda dikkat edelim, bu durumda $ADC$ üçgeni $|AD|$ kenarından tutulup $|BD|$ kenarı üstüne yapıştırılırsa $C'A'(B)D$ noktalarının doğrudaş olduğu görülür, bu da bize $m(\widehat{C'})=m(\widehat{D})=\alpha$ yani $m(\widehat{ACD})=m(\widehat{BDC})=\alpha$ olduğunu verir, o halde $2\alpha=60^\circ\Rightarrow \alpha=30^\circ$ olacaktır...