Hipotenüse ait yükseklik

[geo]

$ABC$ dik üçgeninde $AD$ hipotenüse ait yüksekliktir. $[AC]$ üzerinde $AD=AE$ olacak şekilde bir $E$ noktası alınıyor. $BE \cap AD = \{F\}$ ve $AF=4\cdot DF = 4$ ise, $CD=?$

[ERhan ERdoğan]

$\angle{ABE}=x , \angle{CBE}=y$ ve $|AB|=m , |BD|=n$ olarak kodlayalım.

$ \tan{x}=\dfrac{5}{m} , \tan{y}=\dfrac{1}{n}$ ve $\tan(x+y)=\dfrac{5}{n}$ dir.

$\tan(x+y)=\dfrac{\tan{x}+\tan{y}}{1-\tan{x}.\tan{y}}$ toplam formülü ve $m^2=n^2+25$ pisagor bağıntısının ortak çözümünden,

$9n^4-150n^2+625=0 \Rightarrow (3n^2-25)^2 = 0  \Rightarrow n=\dfrac{5}{\sqrt{3}}$ bulunur.

Buradan $|CD|=5\sqrt{3}$ olduğunu görebiliriz.