İddia ediyoruz ki, katsayıları arasında $\dfrac{8a_3^3}{243a_2^2}\geqslant a_0$ koşulunu sağlayan $\begin{align*}p(x)=\sum_{i=0}^{3}a_ix^i\end{align*}$ gibi tüm polinomlar durumu sağlıyor.
$Proof.$ $\begin{align*}p(x)=\sum_{i=0}^{3}a_ix^i\end{align*}$ olsun. Yazarsak, $\begin{align*}\sum_{i=0}^{3}a_i(x+y)^i \geqslant \sum_{i=0}^{3}a_i(x^i+y^i) \Rightarrow \sum_{i=0}^{3}a_i(x+y)^i - \sum_{i=0}^{3}a_i(x^i+y^i) = \sum_{i=0}^{3}a_i((x+y)^i-(x^i+y^i))=P(x,y) \geqslant 0 \end{align*}$
Her, $x,y$ negatif olmayan gerçel sayıları için $P(x,y)\geqslant 0$ ise, bu polinomun 2 katlı kökü vardır. $P(x)=(3ya_3)x^2+(3y^2a_3+2ya_2)x-a_0\geqslant 0$. Buradan $P(x,y)$ nin minimumunu $x=y=\dfrac{-2a_2}{9a_3}$ koyarsak, $\dfrac{8a_2^3}{243a_0^2}$ elde ederiz.
$p(x+y)-p(x)-p(y)=P(x,y)=\left( x+\dfrac{y(2a_2+1)}{2}\right)^2=\left( x-\dfrac{i\sqrt{a_0}}{2}\right)^2\geqslant 0$ olduğundan ispat biter.
