2013 Ortaokul Yaz Kampı Sonu Sınavı

[mehmetutku]

1. $2^m+5^n=k^2$ eşitliğini sağlayan tüm $(m,n,k)$ negatif olmayan tam sayı üçlülerini bulunuz.

[mehmetutku]

2. $5×5$ satranç tahtasının her birim karesine $1,2,......,25$  sayılarından biri, her sayı tam olarak bir kez kullanılarak yazılıyor. Her satırdaki sayılar soldan sağa artan dizi oluşturuyorsa, üçüncü sütundaki sayıların toplamı en az kaç olabilir?

[mehmetutku]

3. Bir $ABCD$ kirişler dörtgeninde $ABC$ ve $BCD$ üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin merkezleri sırasıyla $I$ ve $J$ olsun. $I$ dan geçen ve $AC$ ye dik olan doğru ile $J$ den geçen ve $BD$ ye dik olan doğrunun kesişimi $K$ ise $IKJ$ üçgeninin ikizkenar olduğunu gösteriniz.

[mehmetutku]

4. Bir tahtada $2013^{2013}$ sayısı yazılıdır. Bir hamle; tahtada yazılı olan sayı $n$ ise, $n$ nin herhangi bir $p$ asal bölenini seçmek ve $n$ yi silip yerine $\dfrac{n+p^2}{p}$ yazmaktır. Sonlu sayıda hamle sonunda kesinlikle tahtaya $5$ in yazılacağını gösteriniz.

[ERhan ERdoğan]

Çözüm 3:

Çemberde aynı yayı gören çevre açıların eşitliğinden, $\angle{BAC}=\angle{BDC}$ dir. Buna göre, $\angle{BIC}=\angle{BJC}$ olup $BIJC$ bir kirişler dörtgenidir.

$\angle{KIJ}=90-(\angle{JIC}+\angle{ICA})$ ve $\angle{KJI}=90-(\angle{IJB}+\angle{JBD})$ dir.

Kirişler dörtgeni ve iç merkezleri kullanarak $\angle{JIC}=\angle{JBC}=\angle{JBD}$ ve $\angle{IJB}=\angle{ICB}=\angle{ICA}$  olduğunu görebiliriz. Buradan $\angle{KIJ}=\angle{KJI}$ olup $KI=KJ$ dir.

[Lokman Gökçe]

Çözüm 2:

Yanıt: $\boxed{45}$

$i$ inci satır ve $j$ inci sütunda bulunan sayıyı $a_{ij}$ ile gösterelim. Biz $a_{13}+a_{23}+a_{33}+a_{43}+a_{53}$ toplamının en küçük değerini bulmak istiyoruz.

$a_{11}<a_{12}<a_{13}$ olduğundan $a_{13}$ en az $3$ olabilir. Bu durumda $a_{11}=1,a_{12}=2$ dir.

$a_{21}<a_{22}<a_{23}$ olduğundan $a_{23}$ en az $6$ olabilir. Bu durumda $a_{21}=4,a_{22}=5$ tir.

Benzer şekilde $a_{33}=9, a_{43}=12, a_{53}=15$ olarak hesaplanır. (Bu durumda aranan minimum toplam

$a_{13}+a_{23}+a_{33}+a_{43}+a_{53}=3+6+9+12+15=45$ şeklinde elde edilir. Bu minimum toplama uygun bir örnek sayı tablosu oluşturmak kolaydır.)

[Lokman Gökçe]

Çözüm 1:

$(m,n,k) \in \{ (3,0,3), (2,1,3) \}$ şeklinde iki tane çözüm üçlüsü vardır.

$n=0$ için $2^m=(k-1)(k+1)$ dir. $(k+1)-(k-1)=2$ olduğundan aralarındaki fark $2$ ye eşit olan $2$ nin kuvvetleri yalnızca $2^2 -2^1$ dir. Buradan $m=3,k=3$ çözümü elde edilir.

$n\geq 1$ olsun. Denklemi $\mod{5}$ te inceleyelim: $2^m \equiv k^2 \pmod{5}$ olur. $m$ nin tek sayı değerlerinde $2^m \equiv 2,3 \pmod{5}$ olup bu değerler $\mod{5}$ te kare kalan değildir. $m$ nin çift sayı değerlerinde $2^m \equiv 1,4 \pmod{5}$ olup bu değerler $\mod{5}$ te birer kare kalandır. O halde $m$ çifttir. $m=2x$ yazabiliriz. $k^2-2^{2x}=5^n$ denkleminden $k-2^x=5^a$ ve $k+2^x=5^{a+b}$ olmalıdır. ($b\geq1$ ve $n=2a+b$). Bu iki denklemi taraf tarafa çıkarırsak $2\cdot2^x=5^{a+b}-5^a$ olup $2^{x+1}=5^a(5^b-1)$ dir. Bu eşitliğin sağlanabilmesi için $a=0$ olmak zorundadır. $x=0$ için çözüm yoktur. $x=1$ için $b=1$ dir. Bu durumda $m=2,k=3$ çözümü elde edilir.

$x\geq 2$ için $2^{x+1}=5^b-1$ denkleminin çözümünün olmadığını gösterelim. Denklemi $\mod{8}$ te inceleyelim: $5^b \equiv 1 \pmod{8}$ olur. $b$ nin tek sayı değerlerinde $5^b \equiv 5 \pmod{8}$, $b$ nin çift sayı değerlerinde $5^b \equiv 1 \pmod{8}$ olduğundan $b=2c$ şeklinde bir çift sayıdır. Bu durumda denklem $(5^c-1)(5^c+1)=2^{x+1}$ şeklinde yazılabilir. $(5^c+1)-(5^c-1)=2$ olduğundan bu denklemden $5^c-1=2, 5^c+1=4$ olur. Ancak bu durumdan bir çözüm gelmez.