Tam kare

[NazifYILMAZ]

$a,b$ pozitif  tam sayı  olmak üzere $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}=n^2$ eşitliğinin sağlayan kaç farklı $(a,b)$ ikilisi vardır.




Edit: Burada $n$'nin ne olduğu belirtilmemiş ancak bir pozitif tam sayı olduğunu düşünüyoruz. $n$ gerçel sayı verilirse her $(a,b)$ pozitif tam sayı ikilisi için eşitlik sağlanır.

Ayrıca soru, bir IMO problemini hatırlatıyor bana. Öyle ise, kaynak taramasını yapıp yılını bulabiliriz. (L. Gökçe)

[Lokman Gökçe]

Doğru hatırlamışım, 1988 IMO'nun 6. sorusu imiş.

Çeşitli çözümler için buraya tıklayınız. Ayrıca kendi çözümünü bulan ya da tercüme bir çözümü yazmak isteyen olursa http://geomania.org/forum/index.php?topic=4476.0 bağlantısındaki IMO 1988'in 6. problemine çözümü girsin.

[Eray]

Doğru hatırlamışım, 1988 IMO'nun 6. sorusu imiş.

Çeşitli çözümler için buraya tıklayınız.

IMO 1988 6. soruda farklı bir şey soruyor hocam?

[Lokman Gökçe]

Hemen hemen aynı şey isteniyor gibi duruyor. Sorunun ilham kaynağını belirtmiş olduk hem. 1988 imo sorusu çözülürse bu soru da biter diye düşünüyorum.

[Lokman Gökçe]

IMO 1988/6 sorusuna göre $n=1$ veya $a> b \geq 2$ kabulü altında $n=b$ olmalıdır.

Ayrıca buradaki incelemeye göre $n=1$ durumunda $a=b=1$ olmalıdır.

$a> b \geq 2$ kabulü altında $n=b$ durumunu irdeleyelim. İfade $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}=b^2$ olur. Düzenlersek $a^2+b^2 = ab^3 + b^2$ olup bu denklemden $a=b^3$ elde edilir.

Dolayısıyla, simetriyle beraber tüm çözümler $(b^3,b)$ ve $(b, b^3)$ biçimindeki pozitif tam sayı ikilileri olur. Yukarıdaki ana soruda bunların sayısı sorulmuştu: sonsuz çoklukta $(a,b)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır, deriz.

[Metin Can Aydemir]

Bu sorudan yola çıkarak şu soruyu da çözebiliriz; $a,b,c$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $\dfrac{a^2+b^2}{abc+1}$ ifadesi tam sayı ise bir tam sayının karesi olması gerektiğini gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

Bu sorudan türetilmiş başka bir soru;

$a,b,c$ pozitif tam sayı ise, $$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc+1}$$ ifadesini tam sayı yapan tüm $(a,b,c)$ üçlülerini bulunuz.