Özdeşlik {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem (İlham Aliyev): $a,b,c,d$ reel sayıları her $x$ reel sayısı için $$ (x^2+ax+b)^6 =(3x+1)^{12} - (cx+d)^{12}$$ eşitliğini sağlıyorsa, $6a+9b$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 9 $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

$$ \left(x^2+ax+b\right)^6 =(3x+1)^{12} - (cx+d)^{12} \tag{1}$$
özdeşliğinde baş katsayıların eşitliğinden $3^{12}-c^{12}=1$ dir. $(1)$ de $x=-\dfrac13$ yazılırsa $\left(\dfrac19-\dfrac a3+b \right)^6+\left(-\dfrac c3+d \right)^{12}=0$ olup $d=\dfrac c3$ elde edilir. Şimdi $(1)$ de $d=\dfrac c3$ koyarsak
$$ \left(x^2+ax+b\right)^6 =3^{12}\left(x+\frac13\right)^{12} - c^{12}\left(x+\frac13\right)^{12}$$ olup $$ \left(x^2+ax+b\right)^6 =\left(3^{12}- c^{12}\right)\left(x+\frac13\right)^{12} = \left(x+\frac13\right)^{12} $$ yazılır. Buna göre $x^2+ax+b = \left(x+\dfrac13\right)^{2}= x^2 + \dfrac23 x + \dfrac19 $ olup $a=\dfrac23, b=\dfrac19$ bulunur. $6a+9b=5$ sonucuna ulaşılır.