Denklemde bir dönüşüm yaparak başlayalım. $a-1=x$ ,$b-1=y$ ,$c-1=z$, $xyz\mid (x+1).(y+1).(z+1)-1$, $x<y<z$ ve $x,y,z\in Z^+$ olur.
$xyz\mid (xy+x+y+1).(z+1)-1$
$xyz\mid xyz+xy+xz+yz+x+y+z+1-1$
$xyz\mid xy+xz+yz++x+y+z$ elde edilir. Buradan
$\frac{xy+xz+yz+x+y+z}{xyz}\in Z^+$ elde edilir. İfadeyi düzenlersek $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}$ olur. $x<y<z$ olduğundan
$\frac{1}{x}>\frac{1}{y}>\frac{1}{z}>\frac{1}{xy}>\frac{1}{xz}>\frac{1}{yz}$ olur. Bu da bize $x$ yerine değer seçerek İfadenin maksimum değerini bulma şansı verir. yani seçebileceğimiz en küçük üçlüyü seçerek işe koyulalım.
$(x,y,z)=(1,2,3)$ ise $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ olur. Bu ise $2+\frac{5}{6}$ yani ifadenin $3$ ten kesinlikle küçük olacağını söyler.
$(x,y,z)=(2,3,4)$ ise $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{35}{24}<2$ olur. Yani $x=2$ için ifadenin değeri $1$ dir.
$x\ge3$ için ise bu ifade en yüksek değerini $(3,4,5)$ için alır.
$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{15}=\frac{59}{60}<1$ olur. bu da $x\ge3$ için çözüm olmadığını söyler. Dolayısıyla $x=1$ için ifade $1$ veya $2$ olabildiğinden ve $x=2$ için ifadenin değeri $1$ olduğundan $3$ farklı durumda incelemek yeterlidir.
$1)$ $x=1$ için ifadenin değeri $1$ ise
$2y+2z+1+yz=yz$
$2y+2z+1=0$ olur. ki $2y+2z>0$ olduğundan doalyı mümkün değildir.
$2)$ $x=1$ için ifadenin değeri $2$ ise
$2y+2z+1=yz$
$2z+1=y.(z-2)$
$y=\frac{2z+1}{z-2}$
$\frac{2z+1+4-2z}{z-2}\in Z$ yani $z-2\mid 5$ olur. $z>2$ olduğundan dolayı $z\in \{ 3,7 \}$ olur.
$z=3$ ise $y=7$ olur. $z>y$ koşulu sağlanmadığından dolayı çözümü yoktur.
$z=7$ ise $y=3$ olur. bu bir çözümdür. $(x,y,z)=(1,3,7)$ olduğundan $(a,b,c)=(2,4,8)$
$3)$ $x=2$ için ifadenin değeri 1 ise
$3z+3y+2+yz=2yz$
$3y+3z+2=yz$
$3z+2=y.(z-3)$
$\frac{3z+2}{z-3}\in Z$
$\frac{3z+2+9-3z}{z-3}\in Z$
$z>2$ olduğundan ve $z\not\equiv 3$ olduğu için $z-3>0$ olmalıdır.
$\frac{11}{z-3}\in Z^+$ ve $Z\in \{4,14\}$ olmalıdır.
$z=4$ ise $y=14$ olur bu $z>y$ ile çelişir.
$z=14$ ise $y=4$ olur bu durumda $(x,y,z)=(2,4,14)$ bir çözümdür ve $(a,b,c)=(3,5,15)$ olarak bulunur.
bu bölme işlemini sağlayan üçlüler $(2,4,8)$ ve $(3,5,15)$ olmak üzere $2$ tanedir.
