Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2012 Soru 2

[geo]

Bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninin köşegenleri birbirine dik olarak $E$ noktasında kesişiyor. $[AD]$ kenarı üstünde yer alan $A$ dan farklı bir $P$ noktası $|PE|=|EC|$ koşulunu sağlıyor. $BCD$ üçgeninin çevrel çemberi de $[AD]$ yi yine $A$ dan farklı bir $Q$ noktasında kesiyor. $A$ dan geçen ve $EP$ doğrusuna $P$ noktasında teğet olan çember ise, $[AC]$ doğru parçasını $R$ noktasında kesiyor. $B$, $R$, $Q$ noktaları doğrudaş ise, $s(\widehat{BCD})=90^\circ$ olduğunu gösteriniz.

(Fehmi Emre Kadan)

[geo]

$(ARD)$ çemberi $BD$ ile $F$ de kesişsin.

$E$ noktasının $(ARFD)$ çemberine göre kuvveti $$ ER \cdot AE = EF \cdot ED \tag{1}$$
$E$ noktasının $(ARP)$ çemberine göre kuvveti $$ ER \cdot AE = EP^2  = EC^2 \tag{2}$$ Bu durumda, $EF \cdot ED = EC^2$ dir. Bu da $CE$ doğrusunun $(FCD)$ çemberine teğet olduğu, diğer bir ifadeyle $\angle ECF = \angle EDC$ olduğu anlamına gelir.
$ARFD$ kirişler dörtgeni olduğu için $\angle ADE = \angle ERF$ dir. $\angle QDB + \angle BDC = \angle FRC + \angle RCF$ olduğu için, $\angle RBC = \angle RFC$ olacaktır. Bu da $BCFR$ dörtgeninin deltoid olduğunu gösterir. (Göremediyseniz, $B$ nin $RC$ ye göre simetriğini alın. Bu noktaya $B'$ deyin. $\angle RBC = \angle RB'C = \angle RFC$ olduğu için $B' \in BD$ ve dolayısıyla $F=B'$ olacaktır.)
Deltoidden dolayı da $\angle BCR = \angle RCF = \angle BDC$ olacaktır. $\angle BEC = 90^\circ$ olduğu için $\angle BCD = 90^\circ$ dir.