Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2019 Soru 30

[ERhan ERdoğan]

Rakamlarının yeniden sıralanması sonucu bir tam kare elde edilebilen bir pozitif tam sayıya $\textit{karesel sayı}$ diyelim.Örneğin, $7416$ sayısının rakamları yeniden sıralanarak $1764 = 42^2$ sayısı elde edilebildiğinden $7416$ bir karesel sayıdır. $2345, 3456, 5678$ ve $6731$ dört basamaklı pozitif tam sayılarından kaç tanesi karesel sayıdır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\  3 \qquad\textbf{e)}\ 4 $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

Önce iyi bilinen bir lemmayı ispatlayalım.
Lemma: Herhangi bir tam sayının karesinin $3$ ile bölümünden kalan ya $0$ ya da $1$ olabilir. Kalan $2$ olamaz.

İspat: $x \in \mathbb Z$ olmak üzere $x \equiv 0, 1, 2 \pmod{3}$ durumları mümkündür. Her bir $x$ değeri için sırasıyla $x^2 \equiv 0, 1, 1 \pmod{3} $ elde edilir. $x^2 \not \equiv 2 \pmod{3}$ bulunur.

Bu lemmaya göre $2345 \equiv 2 \pmod{3}$, $5678 \equiv 2 \pmod{3}$, $6731 \equiv 2 \pmod{3}$ olduğundan bu sayılar ve bu sayıların rakamlarının yer değiştirmesiyle elde edilen sayılar tam kare olamaz.

$3456$ sayısının rakamları yeniden sıralanarak $4356=66^2$ yazılabildiğinden yalnızca $1$ tane karesel sayı bulunur.