Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 07

[geo]

$(2a+b)(2b+a) = 2^c$ eşitliğini sağlayan kaç $(a,b,c)$ pozitif tam sayı sıralı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$a$ ve $b$ pozitif tam sayı olduğunda, $2b+a\geq 2$ ve $2a+b\geq 2$ olacaktır.
O halde, denklemi pozitif $x,y$ tam sayıları için, $$\begin{array}{rcl}
2a+b &=& 2^x \\
2b+a &=& 2^y
\end{array}$$ şekline dönüştürebiliriz. Ortak çözersek, $a = \dfrac{2^{x+1}-2^y}{3}$ ve $b = \dfrac{2^{y+1}-2^x}{3}$ elde ederiz.
$a,b > 0$ olduğu için $x+1>y$ ve $y+1>x$, yani $1>y-x>-1$ olmalı. O halde $y=x$ tir. Bu durumda, $a=b$ olacaktır. $3a \cdot 3a = 9a^2 =2^c$ olamayacağı için, çözüm yoktur.