Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 01

[geo]

Alanı $a$ olan bir dik üçgenin iç teğet çemberi ile, alanı $b$ olan bir dik üçgenin çevrel çemberi aynı çember ise, $\dfrac ab$ en az nedir?

$
\textbf{a)}\ 3 + 2\sqrt 2
\qquad\textbf{b)}\ 1 + \sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ 2+\sqrt 3
\qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt 3
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$a$ yı minimum, $b$ yi de maksimum yapacağız.
Bir çemberi içine çizilebilecek dik üçgenlerin en büyük alanlısı ($b$), ikizkenar dik üçgendir. Dik üçgenin hipotenüsü çemberin çapı olacağı için tüm dik üçgenlerin hipotenüsleri aynıdır. Alanı en çok yapmak için hipotenüse ait yüksekliği en çok yapmak gerekiyor. Hipotenüse ait yükseklik en fazla bir yarıçap kadar olabilir. Bu durumda çemberin yarıçapına $r$ dersek, $b=r^2$ olacaktır.
Alanı $a$ olan dik üçgenin, iç teğet çemberinin yarıçapını $r$ olarak tanımlamıştık. Bu durumda $u$ yarıçevreyi göstermek üzere; $a = ur$ olacaktır.
$\dfrac ab = \dfrac{ur}{r^2} = \dfrac ur$ değerini küçültmeye çalışacağız.
Üçgenin kenarlarına da $a,b,c$ diyeceğimiz için soruda $a=A$ ve $b=B$ değişikliğini yapalım.
Bu durumda bizden
$$ \dfrac{A}{B}=\dfrac{u}{r}=\dfrac{u}{u-a}=\dfrac{1}{1-\dfrac au}=\dfrac{1}{1-\dfrac{2a}{a+b+c}} $$
ifadesini minimize etmemiz isteniyor.
$$ \dfrac{A}{B}=\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{1+\dfrac{b+c}{a}}}=\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{1+\dfrac{b+c}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}}}=\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{1+\sqrt{\dfrac{b^{2}+c^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}}}}=\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{1+\sqrt{1+\dfrac{2bc}{b^{2}+c^{2}}}}} $$ olacağından $\dfrac AB$ yi en küçük yapmak için, son ifadedeki paydayı, yani
$$ 1-\dfrac{2}{1+\sqrt{1+\dfrac{2bc}{b^{2}+c^{2}}}} $$ ifadesini en büyük yapmak gerekir. Bunun için de, paydadaki çıkan durumundaki $$ \dfrac{2}{1+\sqrt{1+\dfrac{2bc}{b^{2}+c^{2}}}} $$ ifadesi en küçük değerini almalı. Bu ifadenin en küçük değerini alması için paydanın, yani $$ 1+\sqrt{1+\dfrac{2bc}{b^{2}+c^{2}}} $$ ifadesinin en büyük değerini, yani $$ \dfrac{2bc}{b^{2}+c^{2}} $$ ifadesinin en büyük değerini alması gerekir. $AO \geq GO$ olduğu için $$b^2+c^2 \geq 2bc \Rightarrow 1 \geq \dfrac {2bc}{b^2+c^2}$$ olacağından $$ \dfrac{2bc}{b^{2}+c^{2}} $$ ifadesi en fazla $1$ olabilir. Eşitlik ise $b=c$, yani üçgen ikizkenar olduğunda mümkündür. Bu durumda $r$ yarıçaplı çemberi iç teğet çemberi kabul eden en küçük alanlı dik üçgen, ikizkenar dik üçgendir.
$$ \dfrac{2bc}{b^{2}+c^{2}} = 1$$ değerini yerine yazarsak,
$$ \dfrac{A}{B}=\dfrac1{1-\dfrac2{1+\sqrt 2}}=\dfrac{\sqrt 2+1}{\sqrt 2-1}= (\sqrt 2+1)^{2}= 3+2\sqrt 2 $$ elde ederiz.

[geo]

$a$ yı minimum, $b$ yi de maksimum yapacağız.

Bir çemberin içine çizilebilecek dik üçgenlerin en büyük alanlısı ($b$), ikizkenar dik üçgendir.

İspat: Dik üçgenin hipotenüsü çemberin çapı olacağı için tüm dik üçgenlerin hipotenüsleri aynıdır. Alanı en çok yapmak için hipotenüse ait yüksekliği en çok yapmak gerekiyor. Hipotenüse ait yükseklik en fazla bir yarıçap kadar olabilir. Bu durumda çemberin yarıçapına $r$ dersek, üçgen ikizkenar dik üçgen olur. Dolayısıyla $b=r^2$ olacaktır.


Alanı $a$ olan dik üçgenin, iç teğet çemberinin yarıçapını $r$ olarak tanımlamıştık. Bu durumda $u$ yarıçevreyi göstermek üzere; $a = ur$ olacaktır.
$\dfrac ab = \dfrac{ur}{r^2} = \dfrac ur$ değerini küçültmeye çalışacağız.

$\angle YXZ = 90^\circ$ olmak üzere $YZ= x$ dersek; $u-x = r \Rightarrow u = x + r$ olacağı için $\dfrac ab = \dfrac ur = \dfrac {x+r}{r} = 1 + \dfrac xr$ elde edilir.

Bu durumda herhangi bir dik üçgende hipotenüsün içteğet çemberin yarıçapına oranının en küçük değerini bulmaya çalışacağız. Kolaylık olması açısından $r=1$ kabul edersek, $\dfrac ab = x + 1$ olacaktır.

Üçgenin iç merkezi $I$ olsun. $YIZ$ üçgenlerinin ortak özelliği $\angle YIZ = 135^\circ$ ve $YZ$ ye ait yüksekliğin $r=1$ olmasıdır. Buradaki sorunun sonucu olarak, bu üçgenlerden en küçük $YZ = x$ kenarına sahip olanı ikizkenar üçgendir. Bu durumda $XYZ$ dik üçgeni de ikizkenar olur. İkizkenar dik üçgende $r=1$ ise $YZ = x = 2(1 + \sqrt 2) = 2 + 2\sqrt 2$ olur.
Öyleyse, $\dfrac ab = x + 1 = 3 + 2\sqrt 2$ dir.

[geo]

Bir önceki çözümdeki gibi büyük dik üçgenimiz $YZ$ hipotenüs olmak üzere $\triangle XYZ$ olsun.
İç teğet çemberin merkezi $I$, yarıçapı $r$ olsun. İç teğet çember hipotenüse $T$ noktasında dokunsun.
Önceki çözümlerdeki gibi $\max \{b\} = r^2 = 1$ olacaktır.

Dik üçgenlerde $a = \text{Alan} (XYZ) = YT \cdot TZ$ eşitliğinin sağlandığı kolayca görülebilir.
Demek ki, amacımız $YT \cdot TZ$ çarpımını en küçük yapmak.
Yine bir önceki çözümdeki $YIZ$ üçgenlerinin ortak özelliği $YIZ = 135^\circ$ ve $YZ$ ye ait yüksekliğin $r=1$ olması. Buradaki sorunun sonucu olarak, $\angle YIZ$ geniş açı olduğu için, $YT \cdot TZ$ çarpımının en küçük olduğu üçgen ikizkenardır.
$YT = TZ = 1 + \sqrt 2 \Rightarrow \min\{a\} = (1+\sqrt 2) = 3 + 2\sqrt 2$ elde edilir.

[geo]

$\dfrac{A}{B}=\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{1+\dfrac{b+c}{a}}}$ kısmına kadar ilk çözümdeki adımları uygulayalım.
Amacımız $\dfrac{b+c}{a}$ yı maksimize etmek. $a$ yı sabit tutarsak, $a$ kenarını gören açı da sabit, $90^\circ$, olduğu için $b+c$ nin en büyük değerini arıyoruz. Bu da $b=c$, üçgen ikizkenar iken olur.

[geo]

Çemberin yarıçapı $1$ olsun.
$\max b = 1$ olacaktır. $\min a$ yı araştırıyoruz
İçteğet çember hipotenüsü $x$ ve $y$ şeklinde ikiye bölsün.
Alandan ya da Pisagor'dan $(x+1)(y+1)=2xy=2a$ elde ederiz.
Biraz düzenlemeyle $x+y+1=xy=a$ elde edilir.
$x = p+1$, $y=q+1$ şeklinde değişken değiştirelim.
$p+q+3=(p+1)(q+1)=a$ olacaktır.
Biraz düzenlemeyle $pq=2$ olacaktır.
$p+q$ toplamının en küçük değeri $2\sqrt 2$, dolayısıyla $\min a = \min (p+q+3 )= 3 + 2\sqrt 2$ olacaktır.