Varsayalım bir $ABC$ üçgeni için bu şart sağlanır. Üçgenimizin kenar uzunlukları $a,b,c$; çevrel çemberi yarıçapı $R$ ve iç açıları da $A,B,C$ olsun.
Varsayımımız gereği olarak, radyan cinsinden baktığımızda $A,B,C$ açıları $\pi$ nin rasyonel katıdır. $A(ABC)=\dfrac{abc}{4R}$ olduğundan $R$ de rasyoneldir. $a=2R \sin A$ olduğundan $\sin A$ da rasyoneldir. Benzer şekilde $\sin B$ ve $\sin C$ rasyonel olmalıdır. İki lemma tanımlayalım:
Lemma-1: $\forall \ n$ pozitif tamsayısı için öyle bir $S_n(x)$ polinomu vardır ki, $S_n(x)$ in başkatsayısı 1, katsayıları tamsayı olsun ve $S_n(2\cos \alpha)=2\cos n\alpha$ sağlansın.
İspat: n üzerine tümevarımla ispatlayalım. $n=1$ için $S_1(x)=x$ ve $n=2$ için $S_2(x)=x^2-2$ polinomları istenen şartı sağlıyor. Lemmadaki iddia $\forall \ n\le m$ pozitif tamsayısı için doğru olsun, $m+1$ için kanıtlayalım. $S_{m+1}(x)=xS_m(x)-S_{m-1}(x)$ alırsak sağladığı yarım açı formülünden kolayca görülür.
Lemma-2: $\alpha=\pi\cdot r$ olmak üzere $\cos \alpha$ rasyonel ve $r$ rasyonel sayılar ise $\cos \alpha\in \{0,1,-1,\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\}$ sağlanır.
İspat: $n.r\equiv 0 \pmod 2$ sağlanacak şekilde bir $n$ pozitif tamsayısı ve Lemma-1 deki şartları sağlayan bir $S_n(x)$ polinomu alalım. $S_n(2\cos \alpha)=2\cos n\alpha=2\cos (nr\pi)=1$ olur. $S_n(x)-1=P_n(x)$ olarak tanımlayalım. $2\cos \alpha=\dfrac{a}{b}$ olmak üzere $(a,b$ tamsayı ve aralarında asal $)$ $\dfrac{a}{b}$ , $P_n(x)$ in bir köküdür. Rasyonel Kök Teoremi'nden, $P_n(x)$ her rasyonel kökü ya sıfırdır ya da kökün en sade halinin paydasındaki ifade polinomun baş katsayısını böler. Dolayısıyla $b|1$ veya $a=0$ sağlanmalıdır, ki bu $\cos \alpha\in \{0,1,-1,\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\}$ demektir. Lemma-2 ispatlandı.
$A,B,C$ açıları $\pi$ nin rasyonel katı olduğundan $90^\circ-A,\ 90^\circ-B,90^\circ-C$ sayıları da $\pi$ nin rasyonel katıdır. $\cos \left(90^\circ-A\right)={\sin A\ },\ {\cos \left(90^\circ-B\right)={\sin B\ }\ },\ \cos\left(90^\circ-C\right)={\sin C\ }$ nin rasyonel olduğunu biliyoruz. Lemma-2 den ötürü; ${\cos (90^\circ-\ }A)={\sin A\ }\in \{0,1,-1,\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\}$ olmalıdır. Dolayısıyla derece cinsinde düşünürsek $A\in \{30^\circ,90^\circ\}$ olmalıdır. Aynı şeyler $B$ ve $C$ için de geçerlidir, yani $B\in \{30^\circ,90^\circ\}$ ve $C\in \{30^\circ,90^\circ\}$ sağlanmalıdır. Fakat bu durumda Dolayısıyla $A+B+C$ toplamı $180^\circ$ olamaz, varsayımımızla çelişir.
Sonuç olarak böyle bir üçgen bulunamaz.
