Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 27

[geo]

$2^n$ sayısının ondalık yazılımı $7$ ile başlıyorsa, $5^n$ sayısının ondalık yazılımı hangi rakam ile başlar?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ 9
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$5^n$ nin ilk rakamı $x$ olsun.
$$7 \cdot 10^k < 2^n < 8\cdot 10^k$$ $$x \cdot 10^m < 5^n < (x+1)\cdot 10^m$$ Taraf tarafa çarparsak, $$7\cdot x \cdot 10^{k+m} < 10^n < 8\cdot (x+1) \cdot 10^{k+m}$$ $$7\leq 7x<10^{n-k-m}<8(x+1)\leq 80$$ olacaktır. $7$ ile $80$ arasında $10$ un kuvveti olan tek sayı $10^1$ olduğu için $7x<10 \Rightarrow x = 1$ dir.