Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 03

[geo]

$2p^4-7p^2+1$ sayısının, bir tam sayının karesine eşit olmasını sağlayan kaç $p$ asal sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[kombinatorist]

Yanıt: $\boxed{B}$

$p=3 \Rightarrow 2p^4-7p^2+1 = 100 = 10^2$.

$p \neq 3 \Rightarrow p^2 \equiv p^4 \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow 2p^4-7p^2+1 \equiv 2 \pmod 3 $
$a^2 \equiv 2 \pmod 3$ denkliğinin çözümü olmadığından tek çözüm $p=3$ tür.