Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2017 Soru 01

[Lokman Gökçe]

$6054$ basamaklı $ A= \underbrace{111 \dots 1}_{2017} \underbrace{222 \dots 2}_{2018}5 \underbrace{000 \dots 0}_{2018} $ sayısı veriliyor. $\sqrt{A}$ sayısının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6056 \qquad\textbf{b)}\ 6055 \qquad\textbf{c)}\ 6054 \qquad\textbf{d)}\ 6045 \qquad\textbf{e)}\ 6040 $

[Metin Can Aydemir]

Yanıt: $\boxed{A}$

$2018$ adet $0$'ın rakamları toplamına etkisi olmayacaktır, dolayısıyla bizim $B=\underbrace{111 \dots 1}_{2017} \underbrace{222 \dots 2}_{2018}5$ sayıyla ilgilenmemiz yeterlidir. Bu sayıyı $10$'un kuvvetleri ile yazalım. $$B=10^{2019} \cdot \dfrac{10^{2017}-1}{9}+10\cdot 2\cdot \dfrac{10^{2018}-1}{9}+5=\dfrac{10^{4036}+10^{2019}+25}{9}=(\dfrac{10^{2018}+5}{3})^2$$ $$\sqrt{B}=\dfrac{10^{2018}-1}{3}+2=\underbrace{333 \dots 3}_{2017}5$$ Rakamların toplamı, $3\cdot 2017+5=6056$ olur.