Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 29

[geo]

$ABCD$ kirişler dörtgeninin $AC$ ve $BD$ köşegenleri $M$ noktasında kesişiyor. $|AB| = 5$, $|CD| = 3$, $m(\widehat{AMB}) = 60^\circ$ ise, dörtgenin çevrel çemberinin yarı çapının uzunluğu nedir?

$
\textbf{a)}\ 5\sqrt 3
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{7\sqrt 3}3
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt{34}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$AD'=DC=3$ olacak şekilde $AD'DC$ ikizkenar yamuğunu çizelim.
$\angle ABD = \angle ACD = \angle CAD'$ ve $\angle BAM + \angle ABM =120^\circ = \angle BAD'$ dir. $\triangle D'AB$ de Kosinüs Formülünden $BD'^2 = 3^2 + 5^2 - 2\cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac {-1}{2} \Rightarrow BD'=7$ elde edilir.
$O$ çevrel merkez olmak üzere; $\angle D'OB = 120^\circ$ ve $OB=\dfrac 7{\sqrt 3}$ dir.