Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 04

[ERhan ERdoğan]

$\left \{ 1,2,\cdots ,20 \right \}$ kümesinin $8$ elemanlı alt kümelerinden kaçı ardışık sayılar içermez?

$
\textbf{a)}\ \dbinom{13}{8}
\qquad\textbf{b)}\ \dbinom{13}{9}
\qquad\textbf{c)}\ \dbinom{14}{8}
\qquad\textbf{d)}\ \dbinom{14}{9}
\qquad\textbf{e)}\ \dbinom{20}{15}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0& \\ \hline
\end{array}$
şeklideki $13$ boşluğa $8$ tane $1$, $\dbinom{13}{8}$ farklı şekilde yerleştirilir.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
&0& &0& &0&\color{red}{1}&0&\color{red}{1}&0& &0&\color{red}{1}&0&\color{red}{1}&0&\color{red}{1}&0&\color{red}{1}&0& &0&\color{red}{1}&0& \color{red}{1} \\ \hline
\end{array}$

Yerleştirmeden sonra $0$ ve $1$ lerden oluşan $20$ basamaklı sayı,

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
&1&&2&&3&4&5&6&7&&8&9&10&11&12&13&14&15&16&&17&18&19&20\\ \hline
&0& &0& &0&\color{red}{1}&0&\color{red}{1}&0& &0&\color{red}{1}&0&\color{red}{1}&0&\color{red}{1}&0&\color{red}{1}&0& &0&\color{red}{1}&0& \color{red}{1} \\ \hline
\end{array}$

$8$ elemanlı alt kümede hangi sayıların yer alıp almadığını ifade eder.
Örneğin, yukarıdaki altküme, $\{4,6,9,11,13,15,18,20\}$ kümesidir. Herhangi iki $1$ arasında en az bir $0$ olacağından, bu şekilde oluşturulan $8$ elemanlı altkümelerin hiçbirinde ardışık iki sayı yer almaz.