Çembersel Beşgende Diklik Merkezleri {çözüldü}

[MATSEVER 27]

Köşeleri bir çember üzerinde yer alan bir $ABCDE$ beşgeni alalım. $H_1,H_2,H_3,H_4,H_5,H_6,H_2,H_7,H_8,H_9,H_{10}$ sırasıyla $ABC,BCD,CDE,DEA,EAB,ABD,ACD,ACE,BCE,BDE$ üçgenlerinin diklik merkezleri olsun. $|H_5H_6|=|H_2H_9|$, $|H_1H_9|=|H_3H_7|$, $|H_5H_8|=|H_3H_{10}|$, $|H_4H_8|=|H_1H_6|$ ve $|H_4H_{10}|=|H_2H_7|$ olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

Lemma (Balkan MO 1984). $ABCD$ kirişler dörtgeni olsun. $BCD$, $CDA$, $DAB$, $ABC$ üçgenlerinin diklik merkezleri sırasıyla $A^\prime$, $B^\prime$, $C^\prime$, $D^\prime$ ise $A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime$ ve $ABCD$ dörtgenleri eştir.

İspatını Olimpiyatlar İçin Düzlem Geometri Problemleri (L. Gökçe) kitabımızda sf 69-70'de bulabilirsiniz. Ya da netten Balkan MO 1984 sorusunun çözümünü araştırabilirsiniz. Çözüm, Euler doğrusu yardımıyla yapılabilmektedir.



Sorunun Çözümü.
Asıl problem, bahsettiğimiz Balkan MO 1984 sorusunun biraz daha ilerletilmiş halidir. Beşgen üzerinde diklik merkezlerinin çizimlerini yapmaya kalkarsak şekil korkunç bir hal alacaktır. Çizdiğimiz şekiller, soruyu anlaşılır yapmak için olmalıdır. Bu sebeple, bu soruda çizim yapmadan ilerleyelim. Lemma'ya göre

$ABCD$ kirişler dörtgeni ile $H_2H_3H_6H_1$ dörtgeni eş olup $|H_6H_1|=|CD|$ dir.

$ACDE$ kirişler dörtgeni ile $H_3H_4H_8H_7$ dörtgeni eş olup $|H_4H_8|=|CD|$ dir. Bu iki eşitlikten
$$|H_1H_6|= |H_4H_8|$$
bulunur. Diğer kenar eşitlikleri de benzer biçimde gösterilebilir.