Denklem Çözme

[Metin Can Aydemir]

$x,y,z$ farklı reel sayılardır. Buna göre aşağıdaki denklem sistemini sağlayan tüm $(x,y,z)$ üçlülerini bulunuz.$$ x^3-7x+5y^2+10z=324-5z^2-10y $$ $$ y^3-7y+5z^2+10x=324-5x^2-10z $$ $$ z^3-7z+5x^2+10y=324-5y^2-10x $$

[Metin Can Aydemir]

Verilen ilk eşitlikte $x$ li terimleri ve sabit terimi sağ tarafa atıp iki tarafına da $-5x^2-10x$ ekleyelim ve $A=-5(x^2+y^2+z^2)-10(x+y+z)$ diyelim.Aynı işlemi ikinci ve üçüncü denkleme yaparsak, $$x^3-5x^2-17x-324=A$$ $$y^3-5y^2-17y-324=A$$ $$z^3-5z^2-17z-324=A$$ olur. $f(t)=t^3-5t^2-17t-324-A$ olarak tanımlarsak $x,y,z$ birbirinden farklı ve bu fonksiyonun kökleri olduğundan viettadan, $$x+y+z=5$$ $$xy+yz+xz=-17$$ $$x^2+y^2+z^2=59$$ olur. Buradan $A=-5\cdot 59-10\cdot 5=-345$ olur.  Buradan $$f(t)=t^3-5t^2-17t+21=(t-1)(t+3)(t-7)$$ olduğundan $(x,y,z)=(1,-3,7)$ ve permütasyonları olur.