Prithwijit eşitsizlği {çözüldü}

[gahiax]

Bir $ABC$ üçgeninde kenarortay uzunlukları $m_a$, $m_b$, $m_c$ olsun. $$ \frac{am_a+bm_b+cm_c}{(a+b+c)(m_a+m_b+m_c)}\leq \frac{1}{3}$$ olduğunu gösteriniz.

Kanyak: Prithwijit De tarafından derlenmiş Problems in Geometry isimli BU çalışmadaki 54. problemdir. (Düzeltme: Lokman Gökçe.)

[Mathopia]

Eşitsizliği $3\cdot (am_a+bm_b+cm_c)\leq (a + b + c)\cdot (m_a+m_b+m_c)$ olarak ifade edelim. Üçgende en uzun kenar, en kısa kenarortaya sahip olduğunu da hatırlayarak, $(a, b, c)$ ve $(m_a,m_b,m_c)$ karşıt sıralı üçlüleri için Chebyshew Eşitsizliği gereğince aşikar olarak verilen eşitsizlik müspettir Osman Ekiz'in EŞİTSİZLİK NOTLARI isimli derlemesinden faydalanılabilir.

Çözüm: Murat ÖZARSLAN-Lokman GÖKÇE-Fatih EGİ

[Lokman Gökçe]

Murat ÖZARSLAN ve Fatih EGİ hocalarımla bir araya gelip birkaç gün soru çözerek kendimizi kampa almamızın üzerinden yaklaşık 12 yıl geçmiş. Nice sağlıklı, mutlu ve uzun senelere diyerek probleme bir ekleme yapalım.

Problem: $ABC$ üçgeninin alanı $S$, yükseklikleri ise $h_a$, $h_b$, $h_c$ olsun. $$ \frac{S}{(a+b+c)(h_a+h_b+h_c)} \leq \frac{1}{18}$$ eşitsizliğini kanıtlayalım.

Çözüm: Bu durumda yine Chebyshew eşitsizliği gereğince $$ 3\cdot (ah_a+bh_b+ch_c)\leq (a+b+c)(h_a+h_b+h_c) $$ olacaktır. Öte taraftan $ah_a=bh_b=ch_c=2S$ olduğundan $$ \frac{S}{(a+b+c)(h_a+h_b+h_c)} \leq \frac{1}{18}$$ elde edilir $\blacksquare$

Literatür araştırması yapmaya gerek duymadım, basit bir eşitsizlik ve kesin daha önce bulunmuştur