19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları

[ERhan ERdoğan]

1. Rakamları birbirinden farklı ve birbirinin ters sırada yazılışı olan iki tane üç basamaklı sayının toplamı olarak yazılabilen sayılara Gizemli Sayı diyelim. Kaç tane Gizemli sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 142
\qquad\textbf{b)}\ 120
\qquad\textbf{c)}\ 162
\qquad\textbf{d)}\ 153
\qquad\textbf{e)}\ 136
$

[ERhan ERdoğan]

2. $\dfrac{13^n+2}{3}$ ifadesinin tam kare olmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 1
\qquad\textbf{d)}\ 0
\qquad\textbf{e)}\text{Sonsuz çoklukta}
$

Çözüm: $\dfrac{13^n+2}{3} \equiv 5 \pmod{13}$ olup $\pmod{13}$ de kare kalanlar $0, \pm{1} , \pm{3} , \pm{4} $ olduğundan bu ifadenin tam kare olmasını sağlayan $n$ pozitif tam sayısı yoktur.

[ERhan ERdoğan]

3.  $x^5+5y^5=z^6$ denkleminin pozitif tamsayılarda kaç çözümü vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\text{Sonsuz çoklukta}
$

[ERhan ERdoğan]

4. $|AB|=15 , |BC|=18$ ve $|CA|=21$ olan $ABC$ üçgeninin iç bölgesinden bir $D$ noktası alınıyor.

$[AD], [BD]$ ve $[CD]$ nin orta noktaları sırasıyla $E, F$ ve $G$ olsun.

$[AF]$ ile $[BE]$ nin kesişimi $H$, $[BG]$ ile $[CF]$ nin kesişimi $K$ ve $[CE]$ ile $[AG]$ nin kesişimi de $L$ ise, $EHFKGL$ dörtgeninin alanı nedir?

$
\textbf{a)}\ 20\sqrt{6}
\qquad\textbf{b)}\ 18\sqrt{6}
\qquad\textbf{c)}\ 21\sqrt{6}
\qquad\textbf{d)}\ 15\sqrt{6}
\qquad\textbf{e)}\ 16\sqrt{6}
$


Çözüm: $H,K,L$ noktaları sırasıyla $ADB , BDC , CDA$ üçgenlerinin ağırlık merkezleridir.Buradan

  $[DEHF] = \dfrac{[ADB]}{3}$
  $[DFKG] = \dfrac{[BDC]}{3}$
  $[DGLE] = \dfrac{[CAD]}{3}$
+_____________________

$[EHFKGL] = \dfrac{[ADB]+[BDC]+[CAD]}{3}=\dfrac{[ABC]}{3}$ olur.

Heron formülünden $[ABC]=54\sqrt{6}$ olup, $[EHFKGL]=18\sqrt{6}$ dır.

[ERhan ERdoğan]

5.  Her $x,y\neq 0$ için $x \left [f(xy)-f(x) \right ]+f(-y)=0$ ve $f(2)=3$ eşitliklerini sağlayan $f$ fonksiyonu için, $f\left ( \dfrac{1}{10} \right )$ değeri kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 10
\qquad\textbf{b)}\ 12
\qquad\textbf{c)}\ 15
\qquad\textbf{d)}\ 22
\qquad\textbf{e)}\ 24
$

[ERhan ERdoğan]

6.  $15$ özdeş matematik ve $5$ özdeş fizik kitabı, herhangi iki fizik kitabı arasında en az iki matematik kitabı olması koşuluyla bir rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?

$
\textbf{a)}\ 792
\qquad\textbf{b)}\ 796
\qquad\textbf{c)}\ 812
\qquad\textbf{d)}\ 714
\qquad\textbf{e)}\ 786
$

[ERhan ERdoğan]

7.  $S=1^{2}+2^{2}+3^{2}-4^{2}-5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}-9^{2}-10^{2}+\cdots +101^{2}+102^{2}+103^{2}-104^{2}-105^{2}$ toplamının $25$ e bölümünden kalan kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

Çözüm: $$A=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+10^2+\cdots+103^2+104^2+105^2 \tag{1}$$
$$S=1^2+2^2+3^2-4^2-5^2+6^2+7^2+8^2-9^2-10^2+\cdots +103^2-104^2-105^2 \tag{2}$$

$(1)-(2)$ den

$A-S = 2 \cdot \left [4^2+5^2+9^2+10^2+14^2+15^2+\cdots+104^2+105^2 \right ] \tag{3}$

$(3)$ ifadesindeki ikinci terimler $25$'e bölünürler. Buna göre, $A-S\equiv 2 \cdot \left [4^2+9^2+14^2+\cdots+104^2 \right ]$ dir.

$S\equiv \dfrac{105.106.211}{6}-2 \cdot \left [(5-1)^2+(10-1)^2+\cdots+(105-1)^2 \right]$

$S\equiv 5-2\cdot \left [-10(1+2+\cdots+21)+21 \right] \Rightarrow S\equiv 5-2 \cdot (-10.21.11+21) \equiv 5-(-3)=8$

[ERhan ERdoğan]

8.  $f(x)=(x^{2}-x-5)(x^{2}+2)(x^{2}+5x+3)$ fonksiyonunun grafiği üzerinden, bir parabol üzerinde olacak biçimde altı tane nokta seçilirse, bu noktaların apsislerinin kareleri toplamı kaç olur? (Parabol  $y=ax^2+bx+c , a\neq 0 $ formundaki eğrinin grafiğidir).

$
\textbf{a)}\ 23
\qquad\textbf{b)}\ 27
\qquad\textbf{c)}\ 26
\qquad\textbf{d)}\ 25
\qquad\textbf{e)}\ 29
$

[ERhan ERdoğan]

9. $x^{3}-3x^{2}+6x+13=0$ ve $y^{3}+6y^{2}+15y+31=0$ denklemlerini sağlayan $x$ ve $y$ reel sayıları için $x-y$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

Çözüm: $x^{3}-3x^{2}+6x+13=0 \Rightarrow (x-1)^3+3x+14=0 \tag{1}$

$y^{3}+6y^{2}+15y+31=0 \Rightarrow (y+2)^3+3y+23=0 \tag{2}$

$(1)$ ve $(2)$ denklemlerini birbirinden çıkartıp iki küp farkı özdeşliğini kullanarak

$(x-y-3)\left [ (x-1)^2+(y+2)^2+(x-1)(y+2)+3) \right ]=0$ denklemine ulaşılır. Bu denklemden $x-y=3$ bulunur.

[ERhan ERdoğan]

10.

Kenar uzunlukları $2\sqrt{2}$ ve $7\sqrt{2}$ olan bir $ABCD$ dikdörtgeninin çevresine, şekildeki gibi $KLMN$ dikdörtgeni çiziliyor. $KLMN$ dikdörtgeninin alanı kaç farklı tamkare değeri olabilir?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 1
$


Çözüm: $|ND|=|BL|=a , |AN|=|LC|=b , |AK|=|CM|=x , |BK|=|DM|=y$ olarak kodlayalım. Pisagor teoreminden, $$x^2+y^2=8 , a^2+b^2=98 \tag{1}$$ denklemleri yazılabilir.

$A(KLMN)=(a+y)(b+x)=(ab+xy)+(ax+by) \tag{2}$ dir.

AGO eşitsizliğinden $ab \leq \dfrac{a^2+b^2}{2}$  ve  $xy \leq \dfrac{x^2+y^2}{2}$ dir.

Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden $(ax+by) \leq \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{x^2+y^2}$  dir.

Bunları $(2)$ ifadesine uygularsak $$A(KLMN)=(ab+xy)+(ax+by) \leq \dfrac{a^2+b^2}{2}+\dfrac{x^2+y^2}{2}+\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{x^2+y^2}$$
bulunur. $(1)$ 'deki denklemleri $(2)$ de kullanırsak $A(KLMN) \leq 81$ olur ve ayrıca $A(KLMN) > A(ABCD)$ olduğundan,

$28 < A(KLMN) \leq 81$  aralığında $4$ farklı tamkare değer alabilir.

[ERhan ERdoğan]

11. $x$ bir reel sayı ve, $$A(x)=(x+2)^{5}+(x+2)^{3}(x-2)^{2}+(x+2)(x-2)^{4}$$, $$B(x)=(2-x)^{5}+(2-x)^{3}(2+x)^{2}+(2-x)(2+x)^{4}$$ olmak üzere $A(x)=B(x)$ denkleminin çözüm sayısı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

Çözüm: $x+2=a , 2-x=b$ değişken değiştirmesi yaparak, $$a^5+a^3b^2+ab^4 = b^5+a^2b^3+a^4b$$ denklemini düzenleyelim.

$$a^5-a^4b+a^3b^2 -a^2b^3+ab^4-b^5=0$$  $$a^4(a-b)+a^2b^2(a-b)+b^4(a-b)=0 $$  $$(a-b)(a^4+a^2b^2+b^4)=0$$  $$(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)=0 $$ buradan orijinal denkleme geçelim. $$2x\cdot(3x^2+4)\cdot(x^2+12)=0$$ bu eşitlik sadece $x=0$ reel sayısı için sağlanmaktadır.

[ERhan ERdoğan]

12. $A=\left \{ 1,2,3,\cdots ,18,19 \right \}$ ve $B=\left \{8,14,18  \right \}$ olmak üzere $A\setminus B$ kümesinin elemanlarıyla, ardışık iki sayı içermeyen kaç alt küme oluşturulabilir?

$
\textbf{a)}\ 2380
\qquad\textbf{b)}\ 3640
\qquad\textbf{c)}\ 4420
\qquad\textbf{d)}\ 3960
\qquad\textbf{e)}\ 4230
$

[ERhan ERdoğan]

13. 

$5 \times 5$ şeklindeki bir karenin, her $1 \times 1$ karesinin içine $1,2,4,6,8$ rakamları yazılacaktır.Çift olan herhangi bir rakamın yanyana ve çift sayıda bulunması koşuluyla, $5 \times 5$ karesi kaç farklı şekilde doldurulabilir? (Çift olan herhangi bir rakamın yukarıdan aşağıya çift sayıda olması gerekmiyor. Yukarıda bir örnek doldurma verilmiştir.)

$
\textbf{a)}\ 65^5
\qquad\textbf{b)}\ 29^5
\qquad\textbf{c)}\ 45^5
\qquad\textbf{d)}\ 6^{10}
\qquad\textbf{e)}\ 5\cdot 29^5
$

[ERhan ERdoğan]

14. $S=\left \{ 1,2,3,\cdots ,999,1000 \right \}$ kümesindeki sayılardan kaç tanesi, $n=7^{999!}-5^{999!}$ farkını böler?

$
\textbf{a)}\ 518
\qquad\textbf{b)}\ 624
\qquad\textbf{c)}\ 686
\qquad\textbf{d)}\ 720
\qquad\textbf{e)}\ 735
$

Çözüm: $\left (5,7 \right ) = 1$ olduğundan, $$ 7^4 \equiv 1 \pmod{5} \Rightarrow 7^{999!} \equiv 1 \pmod{5} \Rightarrow 7^{999!}-5^{999!} \equiv 1 \pmod{5}$$
$$5^6 \equiv 1 \pmod{7} \Rightarrow 5^{999!} \equiv 1 \pmod{7} \Rightarrow 7^{999!}-5^{999!} \equiv -1 \pmod{7}$$

olduğundan $5$ ve $7$ nin katları dışındaki $\forall {p}\in S$ sayısı için Euler fonksiyonundan, $7^{999!} =7^{\varphi (p)} \equiv 1 \pmod{p}$ ve $5^{999!} =5^{\varphi (p)} \equiv 1 \pmod{p}$  denklikleri sağlanır.Buna göre;

$$1000-\left (\left \lfloor \dfrac{1000}{7} \right \rfloor+\left \lfloor \dfrac{1000}{5} \right \rfloor-\left \lfloor \dfrac{1000}{35} \right \rfloor \right )=686$$ adet sayı verilen ifadeyi böler

[ERhan ERdoğan]

15. $a,b,c$ birbirinden farklı negatif olmayan tam sayılar olmak üzere, $3^a+3^b+3^c$ formundaki sayıları, küçükten büyüğe doğru sıralarsak, $101$'inci sayı için  $a+b+c$ toplamı kaç olur?

$
\textbf{a)}\ 18
\qquad\textbf{b)}\ 17
\qquad\textbf{c)}\ 19
\qquad\textbf{d)}\ 16
\qquad\textbf{e)}\ 15
$

Çözüm: $3^n > 3^{n-1}+3^{n-2}+\cdots+1$ olacağından kuvvetlerin değerine göre sıralama yapacağız.

En büyük elemanı $3^2$ olan sayı için $\left \{3^0 , 3^1 \right \}$ kümesindeki elemanlar ile $\binom {2}{2}=1$ sayı yazılır.Benzer şekilde düşünerek,

$3^3$ için $\left \{3^0, 3^1, 3^2 \right \}$ kümesinden $\binom{3}{2}=3$

$3^4$ için $\left \{3^0 , 3^1, 3^2, 3^3 \right \}$ kümesinden $\binom{4}{2}=6$

$3^5$ için $\left \{3^0 , 3^1, 3^2, 3^3, 3^4 \right \}$ kümesinden $\binom{5}{2}=10$

$3^6$ için $\left \{3^0 , 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5 \right \}$ kümesinden $\binom{6}{2}=15$

$3^7$ için $\left \{3^0 , 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6 \right \}$ kümesinden $\binom{7}{2}=21$

$3^8$ için $\left \{3^0 , 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6, 3^7 \right \}$ kümesinden $\binom{8}{2}=28$

Buraya kadar yazılan sayı adedi: $3+6+10+15+21+28=84$ tanedir.

$3^9$ için $\left \{3^0 , 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6, 3^7, 3^8 \right \}$ kümesinden $\binom{9}{2}=36$ sayı yazılır.

Bu sayılardan $17.$ sırada yazılanı bulacağız.$\left \{3^0 , 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5 \right \}$ kümesinden $\binom{6}{2}=15$ sayı

yazabiliriz. O halde $16.$ sayı $3^6$ nın kullanıldığı $3^0+3^6+3^9$ olup $17.$ sayı $3^1+3^6+3^9$ dir.

İstenen toplam $1+6+9=16$ dır.