Alt Grubun Mertebesi

[Lokman Gökçe]

Soru (Lokman GÖKÇE):

$H$ ve $K$, $G$ grubunun iki alt grubu olsun. $|H|=12$ ve $|K|=18$ olduğuna göre, $G$ nin $H \cap K $ alt grubunun mertebesi aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$  \textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 6 $

[Lokman Gökçe]

Öğretmenlik alan bilgisi testine hazırlanan matematik öğretmeni adayları için Lagrange teoremi bilinmesi gereken önemli bir özelliktir. Problemimiz de bu kavramla ilgilidir.


Yanıt: $\boxed{D}$

Lagrange Teoremi'ne göre sonlu bir grupta, alt gurubun mertebesi grubun mertebesini tam böler.


Buna göre $|H\cap K |$ değeri, $12$ ve $18$'i tam bölmelidir. $(12,18)=6$ olduğundan $|H\cap K |$ değeri $6$'yı tam bölmelidir. $|H \cap K| \in \{ 1,2,3, 6 \}$ olabilir. Fakat  $|H \cap K| \neq 4$.


Örneğin $G=\mathbb Z _{36}$ toplamsal grubunda $H=< 3>$ ve $K= <2>$ için $H \cap K = <6>$ olup $|H \cap K| = 6$ olabilmektedir.