Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 2. Aşama => 2005 => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Temmuz 15, 2016, 06:29:49 ös
-
Tüm terimlerinin toplamı negatif ve herhangi üç ardışık teriminin toplamı da pozitif olan bir $a_{1},a_{2} \cdots a_{19},a_{20}$ tam sayılar dizisinin bulunup bulunmadığını belirleyiniz.
-
Çözüm (Lokman GÖKÇE): Tüm terimlerin toplamına $T$ dersek $T<0$ veriliyor. Ardışık üç terimin toplamı pozitif olduğundan
$a_1+a_2+a_3 \geq 1$, $a_4+a_5+a_6 \geq 1$, ... , $a_{16}+a_{17}+a_{18}\geq 1$ ve $a_{18}+a_{19}+a_{20}\geq 1$ olur. Tüm bu eşitsizlikleri toplarsak $T+a_{18}\geq 7$ olur. Buradan $a_{18}\geq 8$ elde edilir.
Yine $a_1+a_2+a_3\geq 1$, $a_4+a_5+a_6\geq 1$, $a_7+a_8+a_9\geq 1$, $a_{10}+a_{11}+a_{12}\geq 1$, $a_{13}+a_{14}+a_{15}\geq 1$ $a_{15}+a_{15}+a_{17}\geq 1$ ve $a_{18}+a_{19}+a_{20}\geq 1$ eşitsizliklerini toplarsak $T+a_{15}\geq 7$ bulunur. Buradan $a_{15}\geq 8$ elde edilir.
Bu şekilde $a_{3}, a_{6}, a_{9}, a_{12}, a_{15}, a_{18}\geq 8 \tag{1}$ eşitsizliklerine ulaşırız. Ayrıca
$$ a_1+a_2\leq -1 , a_4+a_5 \leq -1, a_7+a_8\leq -1, a_{10}+a_{11}\leq -1, a_{13}+a_{14}\leq -1, a_{16}+a_{17}\leq -1, a_{19}+a_{20}\leq -1 \tag{2}$$ olur. Bu eşitsizliklere uygun olarak
$$ -4,-3,8, -4,-3,8, -4,-3,8, -4,-3,8, -4,-3,8, -4,-3,8, -4,-3 $$
dizisini verebiliriz. Bu dizinin terimlerinin toplamı $T=-1$ dir.