Tübitak Lise 2. Aşama 2015 Soru 2

[Eray]

$x$, $y$ ve $z$ herhangi ikisinin toplamı $1$ den farklı gerçel sayılar olmak üzere, $$\dfrac{(x^2+y)(x+y^2)}{(x+y-1)^2}+\dfrac{(y^2+z)(y+z^2)}{(y+z-1)^2} + \dfrac{(z^2+x)(z+x^2)}{(z+x-1)^2} \ge 2(x+y+z) - \dfrac{3}{4}$$ olduğunu gösteriniz. Eşitlik durumunu sağlayan tüm $(x,y,z)$ gerçel sayı üçlülerini bulunuz.

(Fehmi Emre Kadan)

[matematik fatihi]

$\text{(Matematik Fatihi:)}$

$\dfrac{(x^2+y)(x+y^2)}{(x+y-1)^2} \ge ^{?} x+y-\dfrac{1}{4}$ olduğunu gösterirsek ispat biter. Bunu gösterelim. İfadeyi açıp düzenlersek $x^3+y^3+xy(xy+1) \ge ^{?} 3xy(x+y)-\dfrac{(x+y)^2}{4}+x+y-\dfrac{1}{4}-2(x+y)^2+\dfrac{x+y}{2}$ $\rightarrow$ $xy(xy+1)+\dfrac{1}{4}+\dfrac{(x+y)^2}{4}+2(x+y)^2 \ge ^{?} 3xy(x+y)+x+y+\dfrac{x+y}{2}$ olur. $x+y=a, xy=b$ diyelim. $(a+\dfrac{1}{2})^2+(\dfrac{3b}{2})^2 \ge ^{?} 2(a+\dfrac{1}{2})(\dfrac{3b}{2}) $ olur ki bu zaten tüm $a,b$ gerçel sayıları için $(a-b)^2 \ge ^{?} 0 \rightarrow a^2+b^2 \ge 2ab$ olduğundan doğrudur. İspat biter. Eşitlik ise $2xy+1=3(x+y), 2yz+1=3(y+z), 2zx+1=3(z+x)$ için $x=y=z=\dfrac{3+\sqrt{7}}{2}$ ve $x=y=z=\dfrac{3-\sqrt{7}}{2}$  için sağlanır.