Tübitak Lise 2. Aşama 2017 Soru 2

[Eray]

Karşılıklı kenarları paralel olmayan bir $ABCD$ dörtgeninde $AB$ ile $CD$ doğruları $X$ de kesişiyor. $A$ merkezli $r_1$ yarıçaplı çember ile $D$ merkezli $r_2$ yarıçaplı çember $P$ ve $Q$ da, $B$ merkezli $r_1$ yarıçaplı çember ile $C$ merkezli $r_2$ yarıçaplı çember $R$ ve $S$ de kesişiyor.$$|XA|\cdot|XB|+{r_1}^2 = |XC|\cdot|XD|+{r_2}^2$$ise, $P,Q,R,S$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.

(Melih Üçer)

[nk6]

Genelliği bozmadan $B$ ve $D$, $X$ e yakın olan köşeler olsun. $A$, $B$, $D$ merkezli çemberlerin kuvvet merkezi $T$ olsun. $T$ den $AB$ ye inilen dik ayağı $U$, $CD$ ye inilen dik ayağı $V$ olsun.

$|TA|^2-r_1^2 = |TB|^2-r_1^2 \Rightarrow |TA| = |TB| \Rightarrow |UA| = |UB|$

$|XB|\cdot |XA| = (|XU|-|UB|)\cdot (|XU|+|UA|) = |XU|^2-|UA|^2=|TX|^2-|TA|^2$

Diğer yandan $|TA|^2-r_1^2=|TD|^2-r_2^2$

Birleştirip yerine yazarsak,

$|TX|^2-|TD|^2=|XC|\cdot |XD|$

Diğer yandan $|TX|^2-|TD|^2 = |XV|^2-|VC|^2 = (|XV|-|VC|)\cdot (|XV|+|VC|) = (|XV|-|VC|)\cdot |XC|$

Birleştirirsek $|VD|=|VC| \Rightarrow |TC|=|TD|$

Dolayısıyla $T$ $A$,$B$,$C$,$D$ merkezli çemberlerin kuvvet merkezidir. $PQ$ $A$ ve $C$ merkezli, $RS$ $B$ ve $D$ merkezli çemberlerin kuvvet ekseni olduğundan $T$ den geçer ve $|TR|\cdot |TS|=|TP|\cdot |TQ|$  $T$ nin bu çemberlere göre kuvvetine eşittir.

Dolayısıyla $PQRS$ çemberseldir, q.e.d