$ay \equiv x (mod p)$ denkliği $p$ asal olduğundan her zaman çözülebilir. Tabii $a$ da $p$ ile aralarında asal olacak. Thue lemma der ki, belli bir $a$ sayısı alalım, bu denkliğin çözümlerden en az biri için,
$0<x,y<\sqrt{p}$
şartı sağlanır.
$p=4k+1$ olan bir asal için $a^2 = -1 (mod p)$ nin çözülebileceğini biliyoruz. O halde
$ay \equiv x (mod p)$
$a^2y^2 \equiv x^2 (mod p)$
$x^2 + y^2 \equiv 0 (mod p)$
$0<x^2 + y^2 < 2p$ olduğundan bunun için tek çare $x^2+y^2 = p$ olmasıdır.