Kısa Ve Umulmadık Çözümlü Sorular(Quickies)

[senior]

sinx = 0, olursa cosx = 1 olur. İfade o zaman 1 olur.

[edizalturk]

Evet. Bir de cosx=0,sinx=1 durumu var. Bu durumlar haricinde başka durumun olabileceğini ya da olamayacağını gösterebilir miyiz?

[senior]

"sinx + cosx en fazla 1 değerini alır. sinx^cosx < sinx ve cosx^sinx < cosx olduğundan ikisinin toplamı 1'i aşamaz yani tam sayı olamaz"
çözümü yanlıştır

[edizalturk]

KLAMKIN 2. soru:
 Arşivimde buna benzer bi soru vardı.

[alpercay]

. SORUYA ÇÖZÜM: ilkini çözelim. İkinci de benzer yolla çözülebilir.
x=0 , x=-1 , x=1 aldığımızda sırasıyla P(0)=P(-2)=P(1)=0 buluruz. Demek ki P(x)=Q(x)x(x+2)(x-1) dir.
Bunu soruda yazar ve sadeleştirmeleri yaparsak Q(x)(x+2)=Q(x-1)(x-2) elde ederiz. Bu eşitlikten
...=Q(-1)=Q(0)=Q(1)=0... olduğunu görürüz. Bu ancak Q(x) sabit polinomsa gerçekleşebilir. Bu durumda
soruda istenen tüm polinomlar P(x)=ax(x+2)(x-1) dir. (a reel sayı)

 

Ediz Hocam yukarda incelediğiniz Klamkin'in ilk sorusundaki ilk eşitlikteki   P(x) bir polinom belirtmez sanırım.Her x >= 2  tamsayısı için  P(-x ) = 0 olmaktadır.İncelenmesi gereken ikinci bağıntıdır.

[edizalturk]

Evet ben üç tane değere bakıp bırakmıştım. Oysa her x için P(x)=P(-x)=0 oluyor. Bu da P(x) sabit polinom olması anlamına geliyor. Orjinal eşitliği bu polinom sağlamaz sonuç olarak böyle bir polinom yoktur.

[Lokman Gökçe]

Ediz hocam, arşivinizden yolladığınız çözümde son adımda 1 - y + y²/2 - ... + y²ⁿ/(2n)! ifadesinin neden e^-y den büyük olduğu açıklanmadığı için çözüm eksiktir. Bu son eşitsizlikte kanıtlanmalıydı. yani  1 - y + y²/2 - ... + y²ⁿ/(2n)! ile e^-y nin farkı alınınca arada kalan sonsuz terimli alternatif serinin nerden pozitif bulunduğu açık değil. (Gözden kaçırdığım basit birşey vardır belki, göremedim)

[alpercay]

(x + 1)P(x)=xP(x+1) eşitliğini sağlayan tüm P(x) polinomlarını bulunuz?

P(x)=x.Q(x) yazarsak    Q(x)=Q(x +1)  olur ki Q(x) sabit polinomdur.Öyleyse tek çözüm  P(x)= k.x  şeklindedir.

[alpercay]

İntegral sorusunda bahsi geçen  f  ve  f^-1  fonksiyonlarının grafikleri...

[edizalturk]

Fark pozitiftir çünkü; x ne olursa olsun x^n/n!>x^(n+1)/(n+1)! dir (Belli bir n den sonra. Çünkü n devamlı büyümektedir. )

[edizalturk]

Alper hocam, Klamkin in ikinci sorusuna ait bir çözüm var mı elinizde acaba?

[alpercay]

2. P(x) = x²ⁿ - 2x^2n-1 + 3x^2n-2-...-2nx + 2n+1 polinomunun reel köklerini bulunuz.

[alpercay]

M.S.Klamkin'den Sorular(Şubat 2004)
 

3.  x³ + y³ = z⁶    denkleminin tamsayı çözümlerini bulunuz.

[edizalturk]

...

[edizalturk]

...