Tübitak Lise 1. Aşama 1993 Soru 16

[Lokman Gökçe]

Verilen altı değişik rengi kullanarak bir kübün her yüzünü farklı bir renge boyuyoruz. Kübün istenildiği kadar ve istenilen istikametlerde döndürülmesiyle biri diğerinden elde edilen iki boyamayı aynı kabul edersek, bu boyama işlemi kaç değişik biçimde yapılabilir?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 12
\qquad\textbf{c)}\ 30
\qquad\textbf{d)}\ 90
\qquad\textbf{e)}\ 180
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

Belirli bir rengin daima tabanda olduğunu varsayabiliriz. Örneğin mavi rengimiz varsa, küpü döndürerek mavi renkli yüzeyi daima tabanda tutabiliriz. Şimdi mavi renkli yüzeye paralel olan yüzeyi (üst yüzeyi) boyamak için kalan $5$ renkten birisi seçmeliyiz. Bu seçim $5$ farklı yolla yapılabilir. Diyelim ki kırmızı renkle üst yüzeyi boyadık. Artık küpün alt-üst yüzeyleri arasında değişim yapılmayacaktır. Yani alt yüzey mavi ile ve üst yüzey kırmızı ile sabitlenmiş oldu. Kalan $4$ renk ile yan yüzeyleri boyayacağız. Döndürmeler aynı kabul edildiği için, dairesel permütasyon uygularız. $(4-1)!=6$ yolla yan yüzeyler boyanmış olur. Çarpma prensibiyle, $5\cdot 6 = 30$ farklı boyama yapılabilir.

[Lokman Gökçe]

Küpün dönme simetrilerinin grubu $24$ elemanlıdır. Bir platonik katı cisim için

$$ \color{red}{\text{Dönme simetrilerinin sayısı} = (\text{Köşe sayısı})\cdot (\text{Bir köşenin derecesi})}$$

eşitliği vardır. Küpün $8$ köşesi vardır ve bir köşenin derecesi (yani köşeye birleşen ayrıt sayısı) $3$ olduğundan küpün dönme simetrilerinin sayısı $8\cdot 3 = 24$ tür. Şimdi $6$ yüzeyin her birini farklı renklerle $6!$ yolla boyayabiliriz. Döndürmeler özdeş kabul edildiğinden,
$$ \dfrac{6!}{24} = 30 $$
yolla boyama yapılabilir.

Not: Kullanılan formülle ilgili açıklamayı buradan takip edebilirsiniz.

[alpercay]

Lokman hocam, platonik katılar için dönme simetrilerinin sayısını veren formülün kanıtı nette vardır mutlaka fakat ben bulamadım şu an. Beni yönlendirirsen ya da bir kanıt verirsen sevinirim.

O kanıtı bulamadım ama $n-küp$ için dönme ve yansıma simetrilerinin sayısının toplamda $n!2^n$ ile verildiğini öğrendim. O zaman bunun yarısı dönme simetrisi olacağından $n!2^{n-1}$ formülü de kullanılabilir. Bunun kanıtını matkafasına sorabiliriz.

[Lokman Gökçe]

Formülün benim için akla uygun açıklaması şudur: Platonik cisimlerde her köşe eşit düzeyde özelliğe sahiptir. Küp özelinde ilk olarak bir köşe seçmek istersek, hangi köşeyi seçtiğimizin bir önemi yoktur. Bir $X$ köşesini alalım. $X$ e bağlanan ayrıtlar $[XA], [XB], [XC]$ olsun. $ABC$ bir eşkenar üçgendir. $X$ den geçen ve $ABC$ eşkenar üçgeninin merkezinden geçen doğruya $\ell$ diyelim. Küpü $\ell$ etrafında $120^\circ$ lik açılarla döndürmeye başlarsak $[XA]$ ayrıtı $[XB]$ nin konumuna, $[XB]$ ayrıtı $[XC]$ nin konumuna, $[XC]$ ayrıtı da $[XA]$ nın konumuna gelecektir. Küpü $\ell$ etrafında tekrar $120^\circ$ ve sonra tekrar $120^\circ$ döndürdüğümüzde başlangıç durumuna dönmüş oluyoruz. $X$ köşesini kullanarak $3$ döndürme dönüşümü etmiş olduk. Bunlardan birinin özdeşlik dönüşümü olduğunu vurgulayalım. Buradaki $3$ sayısını belirleyen şey, $X$ den geçen ayrıtların sayısı oldu. Buna da $X$ köşesinin derecesi dedik. Düzgün $20$ yüzlü ile çalışıyor olsaydık $X$ köşesinin derecesi $5$ olacaktı. Küpte, her bir köşe için $3$ er tane dönme dönüşümü olduğu için köşe sayısı ile çarparsak $8\cdot 3 = 24$ tane dönme dönüşümü bulmuş oluyoruz.



Bu fikir güzel ama bir dönem aklıma yatmayan kısmı vardı. Sonra onu da aştım. Sorun şuydu: Her köşe için birer tane özdeş (etkisiz) dönüşüm var. Bunları hesaba katınca formül doğru sonuç veriyor ama tekrar eden etkisiz dönüşümleri niye her defasında hesaba katıyorum ki? Açıklamam şu oldu: Her köşe için $3$ tane dönüşümden birini seçerek aslında bir sıralı $8$-li yapıyorum. $8$ köşenin tamamından etkisiz (özdeş) dönüşüm seçince ancak bu durumda bunların bileşkesinden etkisiz dönüşüm elde etmiş oluyorum. Yani etkisiz dönüşüm sadece $1$ kez hesaba katılmış oluyor.

O zaman bir platonik cisimde hesaplamam gereken şeyler şunlardır: Bir $X$ köşesinden geçen ilgili $\ell$ doğrusu etrafında kaç defa döndürme yaparak başlangıç konumuna gelebilirim ve şekilde $X$ gibi kaç tane köşe vardır? Böylece bir platonik cisimde,

$$ \color{red}{\text{Dönme simetrilerinin sayısı} = (\text{Köşe sayısı})\cdot (\text{Bir köşenin derecesi})} $$
bağıntısına ulaşıyoruz.