Limit

[Eray]

$k\in \mathbb Z^+$
$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1^k+2^k+\ldots+n^k}{n^{k+1}}=?$

[merdan97]

Riemann Integral Sum kullanarak cevabın $ 1/(k+1) $ olduğu görülebilir.
https://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/riemann_sums/

[Eray]

Elementer çözüm de mevcut.

$k=1$ için $\longrightarrow \dfrac{1+2+\ldots+n}{n^2}=\dfrac{\dfrac{n^2+n}{2}}{n^2}$. Bu ifadede $n\rightarrow\infty$ limitinin değeri $\dfrac{1}{2}$ olur.

$k=2$ için $\longrightarrow \dfrac{1^2+2^2+\ldots+n^2}{n^3}=\dfrac{\dfrac{2n^3+3n^2+n}{6}}{n^3}$. Bu ifadede $n\rightarrow\infty$ limitinin değeri $\dfrac{1}{3}$ olur.

$k=3$ için $\longrightarrow \dfrac{1^3+2^3+\ldots+n^3}{n^4}=\dfrac{\dfrac{n^4+2n^3+n^2}{4}}{n^4}$. Bu ifadede $n\rightarrow\infty$ limitinin değeri $\dfrac{1}{4}$ olur.

Yanıtın $\dfrac{1}{k+1}$ olduğunu hissetmek kolay. Bunu ispatlayalım.

İddia: $k$ bir pozitif tamsayı olmak üzere $1^k+2^k+\ldots+n^k$ ifadesi $n$ ye bağlı $k+1$. dereceden bir polinomdur ve başkatsayısı $\dfrac{1}{k+1}$ dir.

Bu iddiayı ispatlarsak yanıtın $\dfrac{1}{k+1}$ olduğunu da ispatlamış oluruz.

$\ell$ pozitif tamsayısı için $1^\ell+2^\ell+\ldots+n^\ell$ ifadesini $\sum i^\ell$ şeklinde gösterelim.

İddianın İspatı: Tümevarımdan faydalanacağız. $k=1,2,3$ için doğruluğunu çözümün başında gösterdik. $1,2,\ldots,k-1$ sayıları için doğru olduğunu varsayalım. $k$ için doğruluğunu ispatlayacağız.

Alt alta $n+1$ adet Binom Açılımı yazıp taraf tarafa toplayalım.

$$(0+1)^{k+1}=1$$

$$(1+1)^{k+1}=1^{k+1}+\binom{k+1}{1}1^k+\ldots+\binom{k+1}{k}1^1+1$$

$$(2+1)^{k+1}=2^{k+1}+\binom{k+1}{1}2^k+\ldots+\binom{k+1}{k}2^1+1$$

$$\cdots$$

$$\left((n-1)+1\right)^{k+1}=(n-1)^{k+1}+\binom{k+1}{1}(n-1)^k+\ldots+\binom{k+1}{k}(n-1)^1+1$$

$$(n+1)^{k+1}=n^{k+1}+\binom{k+1}{1}n^k+\ldots+\binom{k+1}{k}n^1+1$$

Bu $n+1$ adet açılımı taraf tarafa toplarsak,

$$(n+1)^{k+1}+\sum i^{k+1}=\sum i^{k+1}+\binom{k+1}{1}\sum i^k+\binom{k+1}{2}\sum i^{k-1}+\ldots+\binom{k+1}{k}\sum i^1+n+1$$

$$\Longrightarrow (n+1)^{k+1}=\binom{k+1}{1}\sum i^k+\binom{k+1}{2}\sum i^{k-1}+\ldots+\binom{k+1}{k}\sum i^1+n+1$$

Son eşitlikte $\sum i^k$ ifadesini yalnız bırakırsak,

$$\sum i^k=\dfrac{(n+1)^{k+1}-\left(\binom{k+1}{2}\sum i^{k-1}+\binom{k+1}{3}\sum i^{k-1}+\ldots+\binom{k+1}{k}\sum i^1+n+1\right)}{k+1}$$

olduğunu buluruz.

$(n+1)^{k+1}$ ifadesinin $n$ ye bağlı $k+1$. dereceden polinom olduğunu, başkatsayısının da $1$ olduğunu Binom Açılımından biliyoruz.

$\binom{k+1}{2}, \binom{k+1}{3}, \ldots, \binom{k+1}{k}$ ifadelerinin sabit sayı olduğunu da biliyoruz. O halde tümevarım varsayımımızdan, eşitliğin sağ tarafının pay kısmında parantezin içi $n$ ye bağlı $k$. dereceden polinomdur.

O halde eşitliğin sağ tarafında pay kısmının tümü $n$ ye bağlı $k+1$. dereceden polinomdur, başkatsayısı da $1$ dir. Yani eşitliğin sağ tarafı, payda ile birlikte, $n$ ye bağlı $k+1$. dereceden polinomdur. Başkatsayısı da $\dfrac{1}{k+1}$ dir. Bu da bize $\sum i^k=1^k+2^k+\ldots n^k$ ifadesinin, $n$ ye bağlı, başkatsayısı $\dfrac{1}{k+1}$ olan $k+1$. derece polinom olduğunu gösterir. $\blacksquare$

[stuart clark]

Using $$\displaystyle k!\cdot \binom{n}{k}\leq n^k\leq k!\cdot \binom{n+k}{k}$$

$$\displaystyle \sum^{n}_{n=1}k!\cdot \binom{n}{k}\leq \sum^{n}_{n=1}n^k \leq \sum^{n}_{n=1}k!\cdot \binom{n+k}{k}$$

So $$\displaystyle k!\cdot \frac{n+1}{k+1}\leq \sum^{n}_{n=1}n^k \leq k!\cdot \binom{n+k+1}{k+1}$$

So $$\displaystyle \frac{(n+1)!}{(k+1)(n-k)!}\leq \sum^{n}_{n=1}n^k \leq \frac{(n+k+1)!}{(k+1)n!}$$

So $$\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)\cdots \cdots (n-k+1)}{(k+1)}\leq \sum^{n}_{n=1}n^k \leq \frac{(n+k+1)(n+k)\cdots \cdots (n+1)}{(k+1)!}$$

So $$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(n+1)(n+2)\cdots \cdots (n-k+1)}{n^{k+1}(k+1)}\leq \frac{\lim_{n\rightarrow \infty}\sum^{n}_{n=1}n^k}{n^{k+1}}\leq \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(n+1)(n+2)\cdots \cdots (n-k+1)}{n^{k+1}(k+1)}{(k+1)n^{k+1}}$$

So using Sandwitch Theorem, We get $$\displaystyle \frac{\lim_{n\rightarrow \infty}\sum^{n}_{n=1}n^k}{n^{k+1}}= \frac{1}{k+1}$$