Amerikan Eşitsizlik Sorusu

[KereMath]

$a,b,c\ge0$ ve $a^2+b^2+c^2+abc=4$ ise
$0\le ab+ac+bc-abc\le2$ olduğunu gösteriniz.

[KereMath]

$a\ge b\ge c$ olsun.$c\le 1$ olduğunu görmesi zor değildir.İfadeyi düzenlersek. ab(1-c)+c(a+b).
Üstteki ifadeyi incelersek A.G.O dan $a^2+b^2+c^2+abc\ge 2ab+c^2+abc$ elde ederiz.
$2ab+c^2+abc\le 4$ elde ederiz. yani $ab(2+c)\le 4-c^2$ olur. $ab\le 2-c$ buluruz.Geriye
$ab(1-c)+c(a+b)\le (2-c)(1-c)+c(a+b)=2+c(a+b+c-3)\le 2$ olduğunu ispatlamak kalıyor.Bunun için $a+b+c\le 3$ olduğunu ispatlamamız yeterlidir.
Bunun için $a^2+b^2+c^2+\frac { 3abc }{ a+b+c }\ge \frac { 4 }{ 9 } (a+b+c)^2$ olduğunu ispatlamalıyız.İfadeyi düzenlersek
$9(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+27abc-4(a+b+c)^3\ge 0$ olmalıdır.Bu ifadeyi 2 ifadenin toplamı şeklinde yazarsak
$[a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)]$ birinci ifademiz olur. Schur eşitsizliğinden bu ifade $0$ dan büyüktür.
$2[(a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2]$ ise ikinci ifademiz olur ki bu ifadenin de $0$ dan büyük olduğunu görmek zor değildir.