Cevap: $\boxed{C}$
$x+y^2>0$ ve $xy>0$ olduğundan ifadenin pozitif olması için $x^2>y$ olmalıdır. Dolayısıyla $x>1$ olmalıdır. Eğer $y=1$ ise $x\mid (x+1)(x^2-1)$ olacağından $x\mid 1$ olmalıdır fakat bu bir çelişkidir. Dolayısıyla $x,y>1$'dir ve bu yüzden asal bölenleri vardır. $p\mid x$ olsun. $p\mid (x+y^2)(x^2-y)$ olacağından $p\mid y^3$ ve $p\mid y$ olacaktır. Benzer şekilde $q\mid y$ olan bir $q$ asalı alırsak, $q\mid x$ olacaktır. Dolayısıyla $x$ ve $y$'nin asal bölenleri aynıdır. $x=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_n^{a_n}$ ve $y=p_1^{b_1}p_2^{b_2}\cdots p_n^{b_n}$ şeklinde asal çarpanlarına ayıralım. $(x+y^2)(x^2-y)$'nin $xy$'e bölünmesi için gerekli ve yeterli şart $v_p(n)$'yi $n$'yi bölen en büyük $p$ kuvvetinin üssü olarak tanımlarsak, $$v_{p_i}(x+y^2)+v_{p_i}(x^2-y)\geq v_{p_i}(xy)=a_i+b_i$$ olmasıdır. $v_{p_i}(x+y^2)=\min\{a_i,2b_i\}$ ve $v_{p_i}(x^2-y)=\min\{2a_i,b_i\}$ olduğunu kullanırsak $$\min\{a_i,2b_i\}+\min\{2a_i,b_i\}\geq a_i+b_i$$ olmalıdır. Kesirin olabildiğince küçük olmasını istediğimizden $i=1$ olarak seçmeliyiz. Dolayısıyla $x=p^a$ ve $y=p^b$ için $$\min\{a,2b\}+\min\{2a,b\}\geq a+b$$ olmasını istiyoruz. $x^2>y$ olduğundan $2a>b$'dir. Yani $\min\{2a,b\}=b$'dir ve $$\min\{a,2b\}\geq a\iff 2b\geq a$$ olmalıdır. $a$ ve $b$'yi olabildiğince küçük seçmeye çalışalım. $a=1$ ise $b=1$ olur fakat $x\neq y$'dir. $a=2$ ise $4>b$ ve $2b\geq 2$ olmalıdır. Yani $x=p^2$ ve $y=p$ seçebiliriz. Bu durumda $$\dfrac{(x^2-y)(x+y^2)}{xy}=\dfrac{(p^4-p)(p^2+p^2)}{p^3}=2(p^3-1)$$ olacaktır. $p$'yi en küçük $2$ seçebileceğimizden ifadenin en küçük değeri $2(2^3-1)=14$'dür.
