Noktadaş Çemberler - Çembersel Noktalar

[ERhan ERdoğan]

$ABCD$ konveks bir dörtgen, $AC\cap BD=\left \{ Q \right \} , AB\cap CD=\left \{ P \right \}$ olsun. Buna göre, $(APC), (BPD), (CQD), (AQB)$ çemberlerinin sabit bir noktadan geçtiğini ve bu sabit noktanın çemberlerin merkezleriyle, aynı çember üzerinde bulunduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

İlk kısmın ispatını buldum. İkinci kısım ile ilgili birşey göremedim.

$CDQ$ ve $BDP$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin $D$ den farklı kesim noktası $G$ olsun. $CDGQ$ ve $BGDP$ kirişler dörtgeni olduğundan

$$ \widehat{GQA} = \widehat{GDC} = \widehat{GDP} = \widehat{GBA} \tag{1}$$
ve
$$ \widehat{GCA} = \widehat{GCQ} = \widehat{GDQ} = \widehat{GDB} \tag{2}$$

dir. $(1)$ den dolayı $AGQB$ kirişler dörtgenidir. $(2)$ den dolayı $AGCP$ kirişler dörtgenidir. Yani aranan sabit nokta $G$ dir.