Yay, Orta Nokta ve İç Teğet Çember {çözüldü}

[Eray]

$ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\omega$ da $A$ yı içermeyen $BC$ yayının orta noktası $M$ olsun. Ayrıca $I$ merkezli iç teğet çember $BC$ kenarına $D$ noktasında değsin. $MD$ doğrusu $\omega$ yı ikinci kez $P$ noktasında kesiyorsa $m(\widehat {API})=90^\circ$ olduğunu gösteriniz.

[Arman]

$m(\widehat{BAI})=\alpha , m(\widehat{ABD})=\beta$  dersek,

$m(\widehat{ABD})=m(\widehat{ABD})=\alpha+\beta \Longrightarrow |MB|=|MI|$

$m(\widehat{MBC})=m(\widehat{BPM})=\alpha$ olduğundan $MB$ doğrusu $BDP$ üçgeninin çevrel çemberine teğettir.

Buradan $|MB|^2=|MD|.|MP|$ ifadede $|MB|=|MI|$ yazarsak $|MI|^2=|MD|.|MP|$

Demekki $MI$doğrusu $PID$ üçgeninin çevrel çemberine teğettir.

Buradan $m(\widehat{PIA})=m(\widehat{PDI})$

$m(\widehat{PDI})=90^\circ-m(\widehat{PDB})$

$m(\widehat{PDB})=m(\widehat{BMP})+m(\widehat{CBM})=m(\widehat{PAB})+m(\widehat{BAM})=m(\widehat{PAI})$

Demekki $m(\widehat{PIA})=90^\circ-m(\widehat{PAI})$,

Buradan $m(\widehat{API})=90^\circ$