Tübitak Lise 2. Aşama 1991 Soru 5

[Lokman Gökçe]

$A$, $B$ ve $C$ yarıçapı $R$ olan bir çember üzerinde bulunan üç noktadır. $ABC$ üçgeninin $A$ açısına ait iç açıortay uzunluğu ile dış açıortay uzunluğu aynı ise $$|AB|^2+|AC|^2 = 4R^2$$ olacağını gösteriniz.

[gahiax]

...

[Lokman Gökçe]

(Lokman GÖKÇE)

Genelliği bozmaksızın $|AB| > |AC|$ kabul edebiliriz. $A$ açısına ait iç açırtay ve dış açıortay $BC$ doğrusunu sırasıyla $D$ ve $E$ noktalarında kessin. $|AD|=|AE|$ verildiğinden ve $AD \perp AE $ olduğundan $m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{ABC})+90^\circ $ dir. Dolayısıyla $ \sin C = -\cos B $ olur. Şimdi $ABC$ üçgeninde sinüs teoremi yazılırsa $$ \dfrac{|AC|}{ \sin B} = \dfrac{|AB|}{ \sin C} = 2R $$ olup $|AB|^2 + |AC|^2 = 4R^2 \cdot ( \sin^2 B + \cos^2 B)$ yazılır. $ \sin^2 B + \cos^2 B = 1$ temel trigonometrik özdeşliğinden $$ |AB|^2 + |AC|^2 = 4R^2 $$ sonucuna ulaşırız.