Eşitsizlik

[Metin Can Aydemir]

$q>p>0$ olmak üzere, $a_1,a_2,\cdots ,a_n \in [p,q]$ ve $q^3-p^3\geq pq(p+q-1)\geq 0$ sağlıyor. Buna göre, $$a_1^3+a_2^3+\cdots +a_n^3\leq \left (\dfrac{p+q^2}{p^{n-1}}\right )a_1\cdot a_2\cdots a_n+[(n-1)p^3-pq]$$ olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

(Hüseyin Emekçi)
$a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq ...\geq a_{n}$ olsun.
İddia:
$i)$ $a_{1}^3+pq\leq (p+q^2)a_{1}$
$ii)$ $a_{2}^3+(p+q^2)a_{1}\leq \frac{(p+q^2)a_{1}a_{2}}{p}+p^3$
$iii)$ $a_{3}^3+\frac{(p+q^2)a_{1}a_{2}}{p}\leq \frac{(p+q^2)a_{1}a_{2}a_{3}}{p^2}+p^3$
......
$=> a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+...+a_{n}^3+pq\leq \frac{(p+q^2)a_{1}a_{2}...a_{n}}{p^{n-1}}+(n-1)p^3$ oluyor

Yani $a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+...+a_{n}^3\leq \frac{(p+q^2)a_{1}a_{2}...a_{n}}{p^{n-1}}+[(n-1)p^3-pq]$.

Kanıt:
$i)$
Tüm değişkenleri sola atalım
$(a_{1}-q)(a_{1}^2+qa_{1}-p)\leq 0$
$a_{1}\leq q$ olduğundan bu doğrudur.(Sağ parantez negatif olamaz, $a_{1}^2+qa_{1}-p=a_{1}(a_{1}+q)-p\geq p(a_{1}+q-1)\geq p(p+q-1)\geq 0$ , çünkü soruda verilen eşitsizlikten yola çıkarak $p+q\geq 1$ dır.)

$ii)$
Yine degişkenleri atalım
$(a_{2}-p)(a_{2}^2+pa_{2}-\frac{(p+q^2)a_{1}}{p}+p^2)\leq 0$
$a_{2}\geq p$ olduğundan
$(a_{2}^2+pa_{2}-\frac{(p+q^2)a_{1}}{p}+p^2)\leq 0$ olmalıdır. Ve bu doğrudur.
İddia:
$(a_{2}^2+pa_{2}-\frac{(p+q^2)a_{1}}{p}+p^2)\leq 0$
Kanıt:
$(a_{2}^2+pa_{2}-\frac{(p+q^2)a_{1}}{p}+p^2)\leq a_{1}^2+a_{1}p-\frac{(p+q^2)a_{1}}{p}+p^2=a_{1}^2+a_{1}(p-\frac{p+q^2}{p})+p^2$
Bu, $a_{1}$ cinsinden ikinci dereceden bir denlemdir.
İddia:
Bu ifade $[p,q]$ reel sayılar aralığı için( ve de $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ için de) doğrudur.
Kanıt:
İddiayı sadece $q$ için ispatlasak yeter.
$a_{1}=q$ verirsek
$q^2+q(p-\frac{p+q^2}{p})+p^2=q^2+q(p-1-\frac{q^2}{p})+p^2\leq 0$
$q(p+q-1-\frac{q^2}{p})+p^2\leq 0$
$q(p+q-1)-\frac{q^3}{p}+p^2\leq \frac{q^3-p^3}{p}-\frac{q^3}{p}+p^2=-p^2+p^2\leq 0$
(Soruda verilen eşitsizliği kullandık.)
$iii)$
$ii)$ den sonra burayı ispatlamak zor degildir, şayet yine çarpanlara ayırırsak:
$(a_{3}-p)(a_{3}^2+a_{3}p-\frac{(p+q^2)a_{1}a_{2}}{p^2}+p^2)\leq 0$ olmalıdır. $a_{3}\geq p$ olduğundan dolayı iddiamız şudur.
İddia:
$(a_{3}^2+a_{3}p-\frac{(p+q^2)a_{1}a_{2}}{p^2}+p^2)\leq 0$
Kanıt:
$(a_{3}^2+a_{3}p-\frac{(p+q^2)a_{1}a_{2}}{p^2}+p^2)\leq a_{1}^2+a_{1}p-\frac{(p+q^2)a_{1}a_{2}}{p^2}+p^2\leq a_{1}^2+a_{1}p-\frac{(p+q^2)a_{1}}{p}+p^2\leq 0$
Burada $a_{1},a_{2},...,a_{n}\geq p$ oluşunu ve parantez içerisinde eksi halde olmasını kullandık. Sondaki eşitsizliği de $ii)$ de zaten ispatlamıştık. $iiii),$ $iiiii),$ ... durumlarında da yine bu hale indirgenebilir. İspat biter.


Not:Bundan sonrasında $n$'inci ifadeye kadar böyle eşitsizliği kanıtlarız çünkü hep 0'dan küçük olmasını ispatlamaya çalıştığımız parantezdeki eksili ifadede, paya yeni bir $a_{k}\geq p$ gelirken paydaya $p$ geliyor ve sonuç olarak $ii)$ ye dönüşüyor.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$q>p>0$ olmak üzere $a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbf{R^+}$ her biri farklı pozitif reel sayılar ve $q^3-p^3\geq pq(p+q-1)\geq 0$ sağlanıyor. Buna göre,

$a_{1}^3+a_{2}^3+...+a_{n}^3< (\frac{p+q^2}{p^{n-1}})a_{1}a_{2}...a_{n}+[(n-1)p^3-pq]$

eşitsizliği de sağlanmaktadır.

[Metin Can Aydemir]

Bu sorunun bazı uygulamaları,

Soruda her zaman sağlanan eşitlik durumu $(a_1,a_2,\dots,a_n)=(q,p,p,\dots,p)$'dir ancak $p+q=1$ olursa ekstradan bir de $(a_1,a_2,\dots,a_n)=(p,p,p,\dots,p)$ eşitlik durumu çıkar. Bu da $$a_1^3+a_2^3+\cdots +a_n^3=\left (\dfrac{p+q^2}{p^{n-1}}\right )a_1\cdot a_2\cdots a_n+[(n-1)p^3-pq]$$ denklemini çözün şeklindeki sorularda birden fazla çözüm vererek daha hoş bir soru oluşturur.

Eğer $(n-1)p^2=q$ olacak şekilde seçilirse en sağdaki sabit terim silinir ve artık soruya oran olarak bakabiliriz. Örneğin $\frac{a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3}{a_1a_2\cdots a_n}$ kesirinin alabileceği en büyük değer nedir diye sorulabilir.

Eğer $n=3$ alırsak sağ ve sol $3.$ dereceden olur. Bununla birlikte $(n-1)p^2=2p^2=q$ olarak seçersek homojen bir eşitsizlik oluşturmuş oluruz. Örneğin $p=1$ ve $q=2$ seçersek eşitsizlik $a,b,c\in[1,2]$ için $$a^3+b^3+c^3\leq 5abc$$ haline gelir. Bu eşitsizlik $(a,b,c)\to (ak,bk,ck)$ yazarsak da değişmeyeceğinden $p>0$ için $a,b,c\in [p,2p]$ olduğunda da doğrudur. Yani soruyu şöyle de sorabiliriz,

$0<a\leq b\leq c\leq 2a$ için $\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}$'nin maksimum değerini bulunuz.


Şimdi farklı bir yaklaşımla bir soru üretelim. $P(x)=x^3+mx^2+nx+k$ polinomun $x_1\leq x_2\leq x_3$ olmak üzere üç tane pozitif reel kökü vardır. $m^3=2k+3mn$ ve $x_3\leq 2x_1$ ise $\frac{x_1+x_2+x_3}{x_1-x_2+x_3}$ kaçtır?

Daha analitik bir soru için de buradaki gibi bir yaklaşım yapabiliriz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Benzer bir soru..


$a,b,c\in \mathbf{R^+}$, $a,b,c\in [3,9]$ olmak üzere


$(a+2b)(b+2c)(c+2a)\leq \frac{7}{6}(a+b)(b+c)(c+a)+\frac{3}{2}(a^2+b^2)(a+b)+27$


olduğunu gösteriniz.