Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 18

[ERhan ERdoğan]

Kaç pozitif tam sayı $n\left ( n^{2}-1 \right )\left ( n^{2}+3 \right )\left ( n^{2}+5 \right )$ ifadesini $n$ nin tüm pozitif tam sayı değerleri için böler?

$
\textbf{a)}\ 16
\qquad\textbf{b)}\ 12
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$f(n) = n(n^2-1)(n^2+3)(n^2+5)$ olsun.

$f(2) = 2\cdot 3^3 \cdot 7$ ve $f(3)=2^6 \cdot 3^2 \cdot 7$ dir.

Bu durumda her $n$ pozitif tam sayısı için $k \mid f(n) $ ise $k \mid  \text{obeb} \left(f(2), f(3)\right ) = 2\cdot 3^2 \cdot 7$ olmalı.

$f(n)$ nin her zaman çift olduğu açıktır. Geriye $f(n)$ yi $\bmod 7$ ve $\bmod 9$ da incelemek kalıyor.
$$\begin{array}{cc}
\begin{array}{c|c|c}
n & n^2 \mod 7 & f(n) \mod 7 \\ \hline
0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
2 & 4 & 0 \\
3 & 2 & 0 \\
4 & 2 & 0 \\
5 & 4 & 0 \\
6 & 1 & 0
\end{array}
&
\begin{array}{c|c|c}
n & n^2 \mod 9 & f(n) \mod 9 \\ \hline
0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
2 & 4 & 0 \\
3 & 0 & 0 \\
4 & 7 & 0 \\
5 & 7 & 0 \\
6 & 0 & 0 \\
7 & 4 & 0 \\
8 & 1 & 0 \\
\end{array}
\end{array}$$ olduğu için her $n$ pozitif tam sayısı için $2\cdot 3^2 \cdot 7 \mid f(n)$.
Bu durumda $k \mid 2 \cdot 3^2 \cdot 7$ olacak şekilde $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ pozitif tam sayı bulunur.