Fonksiyonel Denklem 1 {çözüldü}

[MATSEVER 27]

$f(x)$ her $x$ doğal sayısı için tamsayıdır. $f(x+2y)$$=$$f(x)$$+$$2$$f(y)$ ise $\dfrac{f(2013)+f(2015)}{f(2014)}$ nin alabileceği tüm değerleri belirleyiniz.

[MATSEVER 27]

f(0), f(1) gibi değerlerden bir ipucu elde edebiliriz.

[muuurat]

f(x)=x ile f(x)=-x fonksiyonları koşulları sağlıyor. Fakat farklı iki sonuç veriyor.  4029 ve -4029

[Lokman Gökçe]

$c$ herhangi bir tamsayı olmak üzere verilen fonksiyonel denklemin $f(x)=cx$ biçiminde sonsuz çoklukta çözümü vardır.  Dolayısıyla $f(2014)+f(2015)=4049c$ biçimindeki her tamsayı değerini alabilir.

Ayrıca $f(x)=cx$ den başka çözüm ailesi var mıdır bilmiyorum. Bana başka çözüm yok gibi geliyor. Bunun da ispatlanması gereklidir. Sonuç olarak henüz problem tam olarak çözüme kavuşmuş değildir.

[Lokman Gökçe]

Problemdeki düzenlemeleri göz önüne alarak tekrar bakalım. $x=y=0$ için $f(0)=0$ buluruz. Biraz çaba ile $f(1)$ değerini bulmadığımızı görebiliriz. Ancak sorun değildir. $f(1)=c$ diyelim. $c$ ye bağlı sonsuz çoklukta $f$ tanımlayabildiğimizi göreceğiz. $x=0$ ve $y=1$ için $f(2)=2f(1)=2c$ dir. $x=y=1$ için $f(3)=3f(1)=3c$ dir ...vs her $n$ pozitif tamsayısı için $f(n)=nc$ kuralı bulunur. Buna göre

$\dfrac{f(2013)+f(2015)}{f(2014)}=\dfrac{2013c+2015c}{2014c}=2$ sonucuna ulaşılır.