Tübitak Lise 2. Aşama 2010 Soru 4

[geo]

$A$ ve $B$ noktaları $[CD]$ çaplı çemberin üstünde ve $CD$ doğrusunun farklı yanlarında bulunuyor. $C$ ve $D$ noktalarından geçen bir $\Gamma $ çemberi $[AC]$ yi uçlarından farklı bir $E$ noktasında, $[BC]$ yi de $F$ noktasında kesiyor. $E$ noktasında $ \Gamma $ çemberine teğet olan doğru ile $BC$ doğrusunun kesiştiği nokta $P$ olmak üzere; $Q$ noktası, $\vert QP\vert =|EP|$ koşulunu sağlayan ve $CEP$ üçgenin çevrel çemberi üstünde yer alan $E$ den farklı bir nokta olsun. $AB\cap EF=\lbrace R\rbrace $ ve $|EQ|$ nun orta noktası $S$ ise, $DR$ ve $PS$ doğrularının paralel olduğunu gösteriniz.

(Şahin Emrah)

[bvarici]

Çözüm ektedir.

[geo]

(Burak VARICI)

Öncelikle $Q,E,F$'nin doğrusallığını gösterelim. $Q,E,C,P$ çembersel olduğundan $\angle PEQ=\angle PQE=\angle ECF$ ve $PE$ doğrusu $\Gamma $ çemberine teğet olduğu için $\angle ECF=\angle FEX$. Dolayısıyla $Q,E,F$ noktaları doğrusaldır.

$PS\bot QF$ olduğunu biliyoruz. O halde $DR\bot QF$ olduğunu göstermeliyiz. $\Gamma $ çemberinden dolayı $\angle RFD=\angle ACD=\angle ABD$. Bu nedenle $R,B,D,F$ noktaları çemberseldir. $CD$ çap olduğu için $\angle DBC=\angle DBF=\angle DRF={90}^\circ$. $DR\bot QF\ \Rightarrow DR\parallel PS$.

[geo]

(Burak VARICI)

$AB$ , $D$ noktasına göre $FCE$ üçgeninin Simson doğrusudur. O halde $DR$ doğrusu $EF$'ye diktir. $PE$ ışını üzerinde $E$'den sonra gelen bir $X$ noktası için $\angle QEP=\angle EQP=\angle ECF=\angle XEF$. Bu nedenle $Q,E,F$ noktaları doğrusaldır. $PS$, $EQ$'ya diktir ve dolayısıyla $DR$'ye paraleldir.