Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 20

[ERhan ERdoğan]

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11$ sayılarının her $\left ( a_{1},a_{2},\dots ,a_{11} \right )$ permütasyonu için, $(a_{1}+a_{3}, a_{2}+a_{4}, a_{3}+a_{5},$ $\dots,a_{8}+a_{10}, a_{9}+a_{11})$ verildiğinde $a_{i}$ lerden en az $k$ tanesini belirleyebiliyorsak, $k$ en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 11
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$i=1,2,\dots, 9$ için $a_i + a_{i+2} = b_i$ olsun. $a_1 + a_2 + \cdots + a_{11} = \dfrac{11 \cdot 12}{2} = 66$

$b_1 + b_2 + b_5 + b_8 + b_9 = a_1+ a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11}$

$b_1 + b_2 + b_5 + b_8 + b_9 = 66 - a_6$ olduğu için $a_6$ her zaman bulunabilir.

$a_6+a_8 = b_6$ ve $a_4+a_6 = b_4$ ten $a_4$ ve $a_8$;

$a_2 + a_4 = b_2$ ve $a_8 + a_{10} = b_8$ den $a_2$ ve $a_{10}$ bulunabilir.

Bu durumda, $a_2, a_4, a_6, a_8, a_{10}$ sayıları her zaman bulunabiliyor. Bu durumda cevabımız $\geq 5$ olmalı.

En az bir $\left (a_{1}+a_{3}, a_{2}+a_{4}, a_{3}+a_{5}, \dots,a_{8}+a_{10}, a_{9}+a_{11} \right )$ çoklusu için $k=5$ oluyorsa cevabımız $5$ tir. Diğer bir ifadeyle, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$, $11$ sayılarının sadece $2.$, $4.$, $6.$, $8.$, $10.$ elemanları ortak iki permütasyonu için aynı $\left (a_{1}+a_{3}, a_{2}+a_{4}, a_{3}+a_{5}, \dots,a_{8}+a_{10}, a_{9}+a_{11} \right )$ çoklusunu elde ediyorsak cevabımız $5$.
$(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)$ permütasyonunu ile $(3,2,1,4,7,6,5,8,11,10,9)$ permütasyonu aynı
$(4,6,8,10,12,14,16,18,20)$ çoklusunu üretiyor ve bu iki permütasyonun tam olarak $5$ elemanı ortak. O halde bu permütasyon çifti için $k=5$. Yani $k=6$ olmayan permütasyon çiftleri mevcut.