Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2012 Soru 7

[geo]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\Gamma$ ve diklik merkezi $H$ olsun. $K$, $\Gamma$ üstünde ve $BC$ doğrusunun $A$ ya göre farklı tarafında yer alan bir nokta olsun. $K$ noktasının $AB$ doğrusuna göre yansıması $L$ noktası ve $K$ noktasının $BC$ doğrusuna göre yansıması da $M$ noktası olsun. $\Gamma$ ile $BLM$ üçgeninin çevrel çemberi ikinci kez $E$ noktasında kesişsin. $KH$, $EM$ ve $BC$ doğrularının ortak bir noktadan geçtiğini gösteriniz.
(Bir üçgenin diklik merkezi her üç yüksekliğinin de geçtiği noktadır.)

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$\angle ACB= \alpha$  dersek   $\angle AHB=180-\alpha$   olur.  $ABKC$  çembersel olduğu için  $\angle ACB= \angle AKB=\alpha$  olur.  $ALBK$  deltoid olduğu için  $\angle AKB=\angle ALB=\alpha$  olur.  Dolayısıyla $ALBH$  çemberseldir.  Şimdi $AH$ ı çizelim

ve   $\Gamma$  yı ikinci kez kestiği noktaya  $G$  diyelim.   $AG \cap BC ={F}$   olsun.  Diklik merkezinin kuralı gereği  $|HF|=|FG|$  dir.  $AG // MK$  olduğu için   $HMKG$  ikizkenar yamuktur  ve  $BC$  bu ikizkenar yamuğun simetri eksenidir. 

Dolayısıyla $HK$  ve  $MG$ köşegenleri , $BC$ üzerinde kesişir.   $AB \cap LK= P$   ve  $MK \cap  BC=R$   olsun.  $\angle PBC=\beta$   ve  $\angle KBC=\theta$  diyelim.  $\angle LBP= \angle PBK$   olduğu için   $\angle PBL= \beta + \theta$  olur.   $\angle PLB=90-\beta-\theta$ 

olur.  $PRKB$  kirişler dörtgeni  olduğu için  $\angle RBK=\angle RPK=\theta$ olur.  $|LP|=|PK|$  ve  $|MR|=|RK|$  olduğu için  $PR // ML$  dir. O zaman  $\angle MLK=\theta$  olur ve

$\angle BLM= \angle MLK+\angle PLB=90-\beta-\theta+\theta=90-\beta$  olur.  $\triangle ABF$  de  $\angle ABF=\beta$   olduğu için  $\angle BAF=90-\beta$  olur. $ALBH$  nin çembersel olduğunu bulmuştuk. Ve $\angle BAF=\angle BLM=90-\beta$  olduğunu bulduk. 

O zaman $AF \cap LM= H$  olmalıdır.  Yani $H \ \ , \ \ LM$  nin üstündedir.  $LBME$  çemberselmiş.  O zaman  $\angle BAH=\angle BLM=\angle BEM=90-\beta$  dir. 

Şimdi dikkatli bir şekilde bakalım.  $\angle BAH$  açısı $BG$  yayını görüyor   ve  derecesi  $90-\beta$ .   $\angle BEM$  açısının ölçüsü de $90-\beta$ .  O zaman  $EM$  doğrusu $G$  den geçmelidir.  Yani   $G \ , \ M \ , \ E$  noktaları doğrusaldır.   

$KH \ , \ MG \ , \ BC$  nin noktadaş olduğunu göstermiştik. $MG$  doğrusu ile $EM$  doğrusunun aynı olduğunu gösterdik. İspat bitti.