Balkan Matematik Olimpiyatı 2019 Soru 1

[Lokman Gökçe]

Tüm asal sayıların kümesi $\mathbb P $ olsun. Her $p,q \in \mathbb P$ için$$ f(p)^{f(q)} + q^p = f(q)^{f(p)} + p^q $$ $\ \ \ \ \ $koşulunu sağlayan tüm $f: \mathbb P \to \mathbb P$ fonksiyonlarını bulunuz.

(Arnavutluk)

[Metin Can Aydemir]

$p$,$q>2$ ise mod $2$'den $f(p)$ ve $f(q)$ ikisi birden tek ya da çift olmalıdır. Eğer çiftse $f(p)=2$ olmalıdır fakat yerine yazarsak, $p^q=q^p$ bulunur. Bu olmayacağı için $f(p)$ tek olmalıdır. $p=2$ için $$f(2)^{f(q)}+q^2=f(q)^{f(2)}+2^q$$ $f(q)$ tek olduğundan $f(2)$ çift olmalı. Buradan $f(2)=2$ bulunur. Yerine yazarsak $q^2-2^q=f(q)^2-2^{f(q)}$ olur. $x\geq 3$ için $$g(x)=x^2-2^x$$ olsun. $$g'(x)=2x-2^x\cdot \ln{x}$$ $$g''(x)=2-2^x\cdot (\ln{x})^2$$ $x\geq 3$ olduğundan $g''(x)<0$ olur. Yani $g'(x)$ fonksiyonu azalandır. Dolayısıyla maksimum değeri $x=3$'deyken alır. $g'(3)=6-8\cdot \ln{3}<0$ olduğundan $g(x)$ fonksiyonu da azalandır. Dolayısıyla $x^2-2^x=y^2-2^y$ olması için $x=y$ olmalıdır. Buradan $$f(p)=p$$ bulunur.