18.
Yanıt : A
$b=2$ alalım ki en küçüğü elde etmeye çalışalım.
$n=2^4 + c^3 + d^2 + 9$
$c=3$ almayı denersek $n^2 \equiv d^2 + 1 (mod 3)$ olur. Soruya göre $3$ ün $n$ yi bölmesi lazım. Ancak $d^2 \equiv 0,1 (mod 3)$ olduğundan bu mümkün değil.
$c=4$ almayı denersek $d^2 \equiv 3 (mod 4)$ olmalı ama bu yine mümkün değil.
$c=5$ için $d^2 \equiv 0 (mod 5)$ olmalı. Bu olabilir. $d=10$ seçersek
$n= 16 + 125 + 100 + 9 = 250 = 5^3.2$
sayısı istenen şartı sağlar. Ve pozitif bölen sayısı $8$ dir. Ancak bu en küçüğü mü ?
$b=3$ alırsak yine aynı şekilde ilerler ve daha büyük sayılar buluruz.
Biraz deneme yanılma yöntemiyle çözülmüş gibi geldiği için kendi çözümümü paylaşıyorum.
$b=3$ veya daha büyükleri için yeni sayılar elde edemeyiz çünkü;
$b$ çift olursa $2$ de bir bölen olur fakat bölenlerin sıralamasında $a$ ile $b$ arasında olması gerekirdi. Çelişki
$b$ tek olursa $c$ ve $d$ de tek olmalıdır fakat bu durumda $n$ çift olur fakat bu $b$ nin tek olmasıyla çelişir. Dolayısıyla $b$ sadece $2$ olabilir.
Eğer $c$ çiftse kendisinden önce sadece $2$ böleni olduğundan kendisi $2$ nin bir kuvveti olmalıdır.Eğer $mod4$ de incelersek $d^2\equiv 3(mod4)$ olur. Çelişki. Dolayısıyla $c$ tek ve teklik-çiftlikten $d$ çift olmalı. Bölen sıralamasından $d=2c$ olmalı.Yerine yazarsak $n=25+c^3+4c^2$ bulunur. Buradan $c$'nin $25$ i bölmesi gerektiği gözükür ama $1$ veya $25$ olamaz çünkü bölen sıralaması yanlış olur. Dolayısıyla $c=5$, $d=10$ olmalı.Buradan $n=250$ bulunur ve başka bir $n$ sayısı yoktur. Cevap $8$
